Дисперсионный анализ. Методика проведения двух-, многофакторного дисперсионного анализа.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 7Следующая ⇒

Дисперсионный анализ является одним из методов изучения влияния одного или нескольких факторов на результат наблюдений (отклик). Если результаты наблюдения зависят от некоторых независимых факторов, то возможно разделить вклады этих факторов, анализируя соотношения между их дисперсиями. Таким образом, общая дисперсия отклика раскладывается на независимые случайные слагаемые, обусловленные действием независимых факторов, и остаточную дисперсию, связанную с ошибками эксперимента. Решение о существенности влияния некоторого фактора на исход эксперимента зависит от того, насколько значимой является составляющая дисперсии, обусловленная этим фактором, по сравнению с дисперсией, обусловленной ошибкой эксперимента. В зависимости от количества факторов выделяют однофакторный и многофакторный дисперсионный анализ.

Многофакторный дисперсионный анализ - это статистический метод анализа результатов наблюдений, зависящих от различных одновременно действующих факторов, выбор наиболее важных из них и оценка их влияния.

Суть анализа заключается в разложении общей дисперсии случайной величины на независимые слагаемые, каждое из которых характеризует влияние того или иного фактора или их взаимодействие.

Факторами обычно называют внешние условия, влияющие на эксперимент (наблюдение). Это, например, температура, тип оборудования, его мощность, давление и т.д. В условиях эксперимента (наблюдения) факторы могут варьировать, благодаря чему можно исследовать влияние рассматриваемого фактора на эксперимент (наблюдение). В этом случае можно сказать, что фактор варьирует на разных уровнях или имеет несколько уровней.

Дисперсионный анализ проводится по следующей схеме:

1. Расчленение общей дисперсии по источникам ее образования

Взаимосвязь между дисперсиями может быть выражена следующим образом:

у₀²=у₁²+у₂²

Определение числа степеней свободы

Для общей дисперсии при N наблюдениях число степеней свободы составит N-1, для межгрупповой дисперсии - оно равно числу групп (или вариант) минус 1, для внутригрупповой дисперсии - (N-1)-(p-1)=N-p.

Вычисление и анализ оценок вариации

Дисперсионный анализ заключается в сопоставлении межгрупповой и внутригрупповой дисперсий. Отношение их получило название F-критерия, разработанного английским ученым Фишером:

F=S₁²/S₂²

Если Fфакт>Fтабл, то с данной степенью вероятности можно утверждать наличие влияния изучаемого фактора.

Математическая модель эксперимента. Классификация математических моделей

В общем виде объект исследования можно представить структурной схемой, приведенной на рис. 1.1. Состояние объекта исследования можно представить зависимостью Y = f (X;U;Z), (1.1) где X=(x1, x2,… ,xk) – независимые управляющие (входные) переменные, которые в процессе эксперимента можно целенаправленно изменять (питающее напряжение, технологические режимы и т. п.); U =(u1 ,u2 ,… ,um ) – контролируемые возмущающие воздействия, которые не допускают целенаправленного изменения в ходе исследования (температура окружающей среды, освещение и т.п.); Z=( z1,z2,… ,zk) –неконтролируемые и неуправляемые возмущения, неизвестные исследователю, медленно изменяющиеся во времени случайным образом; Y=(y1,y2,…, yn) – контролируемые или вычисляемые параметры, характеризующие состояние объекта.

Одной из основных задач эксперимента является выявление взаимосвязей между входными и выходными параметрами объекта и представление их в количественной форме в виде математической модели. Такая модель является математическим отображением наиболее существенных взаимосвязей между параметрами объекта. Она представляет собой совокупность уравнений, условий и алгоритмических правил и позволяет получить информацию о процессах, протекающих в объекте, которая может быть использована для управления моделируемым объектом с целью поиска оптимальных условий, а также анализировать и проектировать системы.

Различают физические (аналитические) и статистические (эмпирические) модели. Физические модели представляют в виде сложных систем уравнений ,позволяющих очень точно описать процессы, протекающие в объекте, и допускающих экстраполяцию в точки факторного пространства, в которых невозможно непосредственное наблюдение этих процессов. Статистические модели получают в результате статистической обработки экспериментальной информации, собранной об исследуемом объекте. Эти модели имеют относительно простую структуру и представляются в виде полиномов. Область их применения ограничивается ближайшей окрестностью рабочих точек, в которых проводятся эксперименты.

Принято также различать стационарные и динамические модели. Первые из них представляют не изменяющиеся во времени соотношения, вторые описывают переходные процессы, т.е. нестационарные состояния.

14.На практике линия регрессии чаще всего ищется в виде линейной функции {\displaystyle Y=b_{0}+b_{1}X_{1}+b_{2}X_{2}+...+b_{N}X_{N}}

Или

Существует два основных подхода к нахождению b_j.

Первый подход – интерполирование. Базируется на удовлетво-

рении условию, чтобы функция ~y = f (X, b) совпадала с эксперимен-

тальными значениями в некоторых точках, выбранных в качестве опорных. В этом случае для определения к+1 неизвестных значений

параметров b_j используется система уравнений

Второй подход и основной – метод наименьших квадратов. Основан на выполнении требования, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от соответствующих значений уравнения регрессии была минимальна

Для решения задачи регрессионного анализа методом наименьших квадратов вводится понятие функции невязки

Последняя система содержит столько же уравнений, сколько неизвестных коэффициентов.

Расчёт коэффициентов уравнения регрессии методом наименьших квадратов можно применять при любых статистических данных, распределённых по любому закону.

Дата добавления: 2019-02-26; просмотров: 362; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!