Свойства операций сложения и умножения матриц
1) .
2) .
3) .
4) .
5)
6)
7)
8) (в общем случае). Кроме того, если существует, то может вообще не существовать.
9) , где - единичная квадратная матрица.
10) Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. если , то не следует, что или .
Пример. , , но .
Возведение в степень.
Целой положительной степенью квадратной матрицы называют произведение матриц, равных , т.е. .
Транспонирование матриц.
Транспонирование матрицы есть переход матрицы к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.
, ,
т.е. если имеет размер , то имеет размер .
Свойства операции транспонирования.
1. .
2. .
3.
4.
Обратная матрица. Определение. Свойства.
Обратная матрица
Для каждого числа существует обратное число такое, что произведение . Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие.
Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:
.
Только квадратная матрица может иметь обратную, однако не каждая квадратная матрица имеет обратную.
|
|
Определение. Матрица является невырожденной (неособенной), если , в противном случае при матрица называется вырожденной (особенной).
Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица является невырожденной (неособенной) и вычисляется по формуле
,
где - присоединенная матрица, состоящая из алгебраических дополнений элементов транспонированной матрицы, т.е. .
Необходимость. Пусть матрица имеет обратную , т.е. . По свойству 10 определителей имеем: , т.е. и .
Достаточность. Пусть . Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка , называемую присоединенной, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов матрицы , транспонированной к . Тогда элементы произведения матриц определяются по правилу умножения матриц. Поэтому матрица В является диагональной, элементы ее главной диагонали равны определителю исходной матрицы. А произведение на равно той же матрице В: .
Единственность обратной матрицы. Предположим, что существуют еще матрицы и такие, что и , где матрица получена по формуле и выполняются равенства и . Тогда, умножая на слева первое из них, получаем: , откуда , т.е. . Аналогично, умножая второе равенство на справа, получаем . Единственность доказана.
|
|
Свойства обратной матрицы:
§ , где det обозначает определитель.
§ (AB) − 1 = B − 1A − 1 для любых двух обратимых матриц A и B.
§ (AT) − 1 = (A − 1)T где * T обозначает транспонированную матрицу.
§ (kA) − 1 = k − 1A − 1 для любого коэффициента .
§ Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор, и если A - 1 существует, то x = A − 1b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.
Перестановки.
Напомним, что если – множество из -элементов, , то перестановкой степени называется взаимнооднозначное отображение . – множество всех перестановок степени : .
Лемма 1: Число различных перестановок равно
Лемма 2: Множество перестановок образует группу относительно умножения, так что , обратный элемент получается сменой строк (Не коммутативная группа).
Отметим, что если в перестановке поменять местами любые столбцы, то получится та же перестановка.
Углубим проведенное ранее исследование:
|
|
Определение 1: Пусть – перестановка степени , пусть . Тогда пара называется инверсией для , если .
Перестановка называется четной, если число инверсий для – четное, и перестановка нечетная, если число инверсий нечетное.
Знак перестановки – это ,где – число инверсий.
Обозначается .
Итак, если – четная, то , и если – нечетная, то .
Пример: . Пары . Их них подчеркнутые – инверсии. Таким образом, , т.е. – четная.
Теорема 1:
1. Знак единичной перестановки равен 1.
2. Если .
3. .
Доказательство: 1. В единичной перестановке инверсий нет .
2. Пусть – множество инверсий относительно , а – множество инверсий относительно .
Легко видеть, что если , то . Следовательно, между множествами устанавливается взаимнооднозначное соответствие
.
- Пусть – множество инверсий относительно ,
– множество инверсий относительно ,
– множество инверсий относительно : .
Тогда надо доказать, что , т.е. – четное число – это надо доказать.
Пусть ,
,
,
.
Введем следующее обозначение: пусть - это множество пар . Тогда справедлива следующая множественная схема:
Между множествами существует взаимнооднозначное соответствие : .
|
|
Поэтому из картинки видно , т.е. четное число.
Следствие: .
Обозначение: Пусть . -перестановкой будем называть перестановку, при которой
Определение 2: Перестановка вида называется транспозицией. Они имеют вид , где точками обозначены элементы, остающиеся на своих местах.
Теорема 2: Транспозиция – нечетная перестановка.
Доказательство: Вычислим число инверсий. Инверсиями являются пары , где , пара , где , и пара . Их всего будет , т.е. нечетное число. ▄
Замечание: Произведение вида означает, что в нижней строке надо поменять местами и .
? Что означает .
Пример .
Теорема 3: Каждая перестановка является произведением конечного числа транспозиций.
Доказательство: Пусть . Покажем, что нижняя строка может быть получена из строки за конечное число шагов, каждый из которых состоит в том, что два числа меняются местами:
Пример:
т.е. .
Аналогично в общем случае.
Пусть на втором шаге поменяются местами . Тогда ввиду замечания .
Упражнение: Каждая перестановка является произведением конечного числа транспозиций вида .
.
Теорема 4: При всех разложениях перестановки в произведения транспозиций, четность числа транспозиций одна и та же; она совпадает с четностью перестановки.
Доказательство: Пусть , где – транспозиция. Тогда знак равен знаку произведения транспозиций – четно, если – четно.
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 167; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!