Повний диференціал першого порядку
Повний приріст функції (7.1) має вигляд:
, (7.2)
де і – довільні прирости незалежних змінних.
Функцію називають диференційованою в точці , якщо виконуються умови: 1) в точці існують частинні похідні першого порядку і ; 2) повний приріст функції (3.1) в точці можна представити як , (7.3) де і прямують до нуля при , тобто і є нескінченно малими при і , або що теж саме при , де – відстань між точками і . |
З умови 1) існування частинних похідних не завжди випливає умова 2). Функція (7.1) може мати частинні похідні, але не бути диференційованою. Тут порушується аналогія з функцією однієї змінної, для якої наявність похідної забезпечує диференційованість функції.
Теорема 7.2. | (ознака диференційованості функції) Якщо в деякому околі точки функція має перші частинні похідні, які є неперервними в точці , то функція диференційована в цій точці. |
Якщо функція (7.1) диференційована в точці , то її повним диференціалом першого порядку в цій точці називають величину, лінійну відносно і : . (7.4) |
Нехай , тоді . Значить, , отже .
Нехай , тоді . Отже, , .
Тому повний диференціал функції двох змінних можна записати у вигляді:
. (7.5)
Приклад 7.4. | Знайти повний диференціал функції . |
|
|
Розв’язання. Обчислимо спочатку частинні похідні першого порядку:
.
Частинні похідні є всюди неперервними функціями. Тому функція буде всюди диференційованою. Її повний диференціал має вигляд:
.
Похідна неявної, складної функції. Похідна за напрямом
Похідна складної функції
Нехай і . Тоді з формули (7.5) випливає вигляд похідної від функції однієї змінної
. (7.6)
Це формула повної похідної.
Приклад 7.5. | Знайти повну похідну функції , якщо . |
Розв’язання. За формулою (7.6) маємо:
Похідна від неявної функції
Нехай відношення задає неявно функцію . Позначимо і , застосуємо формулу (7.6) і одержимо:
. Тоді при маємо:
. (7.7)
Приклад 7.6. | Знайти похідну функції , заданої відношенням . |
Розв’язання. Згідно формули (7.7) одержимо:
.
Похідна за напрямом
Градієнтом функції називають вектор . (7.8) |
Градієнт вказує напрямок найбільшого зростання функції.
Похідна функції за напрямом вектора , в точці виражається формулою: , (7.9) де напрямні косинуси вектора , . (7.10) |
|
|
Найбільше значення похідної за напрямом дорівнює модулю градієнта, знайденому у відповідній точці :
. (7.11)
Приклад 7.7. | Знайти градієнт і похідну за напрямом, який визначають градієнтом, функції в точці . |
Розв’язання. За формулою (7.8) знайдемо градієнт заданої функції у визначеній точці:
В напрямку градієнта функція буде мати похідну: .
Похідна за напрямом, знайдена за всяким іншим напрямом, буде менше знайденого значення.
Контрольні питання зі змістового модуля III
6.1. | Дати означення похідної функції однієї змінної, диференційованості функції в точці та на інтервалі. |
6.2. | Який геометричний зміст похідної? |
6.3. | Який зв’язок між диференційованістю та неперервністю функції? Чи випливає з неперервності функції її диференційованість? |
6.4. | Навести основні властивості похідної, зокрема формули добутку та частки функцій, похідної складної та оберненої функцій. |
6.5. | Дати означення похідної вищих порядків. |
6.6. | Навести формули похідних основних елементарних функцій. |
6.7. | Як знайти похідну функції, що задана параметрично? Похідну функції, що задана неявно? |
6.8. | Коли застосовують та у чому полягає логарифмічне диференціювання? |
6.9. | Дати означення диференціала функції однієї змінної, навести зв’язок між похідною та диференціалом та його властивості. |
6.10. | Який геометричний зміст диференціала? |
6.11. | У чому полягає інваріантність форми диференціала першого порядку? |
7.1. | Дати означення частинних похідних та навести їх геометричний зміст. |
7.2. | Сформулювати теорему про змішані похідні. |
7.3. | Дати означення диференційованості функції двох змінних. |
7.4. | Навести ознаку диференційованості функції двох змінних. |
7.5. | Як знайти повний диференціал функції двох змінних? |
7.6. | Дати означення градієнта функції двох змінних. |
7.7. | Як знайти похідну за напрямом функції двох змінних? |
7.8. | Який вектор вказує напрямок найбільшого зростання функції? Яким є найбільше значення похідних у точці за напрямом? |
|
|
Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 214; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!