Похідні функцій, заданих у параметричній, неявній формах, логарифмічне диференціювання
Розглянемо функцію, задану параметрично:
Нехай функції і диференційовані і , тоді похідна має вигляд:
. (6.2)
Приклад 6.5. | Знайти похідну функції, заданої параметрично . |
Розв’язання. За формулою (6.2) маємо:
.
Нехай функцію задано неявно відношенням:
Для знаходження похідної потрібно продиференціювати , вважаючи функцією аргументу .
Приклад 6.6. | Знайти похідну функції , яку задано неявно відношенням |
Розв’язання. Продиференціюємо рівняння, що задає функцію :
.
Винесемо за дужки:
,
Тоді похідна
.
Нехай функцію задано у вигляді для знаходження похідної доцільно провести попереднє логарифмування функції, а потім знайти похідну неявної функції:
,
,
.
Це формула логарифмічного диференціювання.
Приклад 6.7. | Знайти похідну функції . |
Розв’язання. Прологарифмуємо рівність: та визначимо похідну неявної функції .
Тоді , тобто .
Зауваження. | Логарифмічне диференціювання застосовують, коли функція є добутком багатьох множників. |
Приклад 6.8. | Знайти похідну функції . |
Розв’язання. Знайдемо логарифм функції :
.
Визначимо похідну отриманої неявної функції:
Отже, .
Диференціал функції однієї змінної
Нехай функція має похідну в точці , тобто існує границя (6.1). Тоді (6.1) можна записати наступним чином:
, (6.3)
|
|
де – нескінченно мала величина, тобто при .
З відношення (6.3) випливає, що приріст функції у точці можна записати у вигляді:
. (6.4)
Диференціалом функції в точці називають головну лінійну частину приросту функції. Його позначають . (6.5) |
Приклад 6.9. | Знайти диференціал функції . |
Розв’язання. З формули (6.5) маємо: .
Отже, доведено рівність
. (6.6)
За допомогою відношення (6.6) рівняння (6.5) стає таким:
. (6.7)
Форма запису (6.7) диференціала функції дозволяє представити похідну як відношення диференціала функції до диференціала аргументу:
. (6.8)
Геометричний зміст диференціала
Побудуємо на площині графік функції . В точці проведемо дотичну до графіка функції (рис. 6.6).
Рисунок 6.6 – Ілюстрація геометричного змісту диференціала
З трикутника маємо: .
Таким чином, диференціал функції в точці дорівнює приросту ординати дотичної до графіка цієї функції в точці .
Нехай – стала величина, і – диференційовані в точці функції, тоді безпосередньо з визначення диференціала випливають наступні властивості.
|
|
Властивості диференціала:
1) | ; |
2) | ; |
3) | ; |
4) | ; |
5) | . |
Інваріантність форми диференціала першого порядку
Нехай і – диференційовані функції. Розглянемо диференціал складної функції :
. (6.9)
Формула (6.9) доводить цікавий факт: форма запису диференціала не залежить від того, чи буде незалежною змінною або функцією іншої змінної.
У зв’язку з цим цю властивість називають інваріантною формою запису диференціала.
Приклад 6.9. | Знайти диференціали функцій , , . |
Розв’язання. За визначенням диференціала маємо:
, , .
ДИФЕРЕНЦІЙОВАНІСТЬ ФУНКЦІЇ
БАГАТЬОХ ЗМІННИХ
Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 199; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!