Контрольні питання зі змістового модуля II

⇐ ПредыдущаяСтр 17 из 20Следующая ⇒

3.1.	Дати означення функції, її області визначення та значень
3.2.	Яка функція називається парною, непарною, періодичною?
3.3.	Які функції називають монотонними?
3.4.	Назвати основні елементарні функції.
3.5.	Дати означення числової послідовності та її границі.
3.6.	Сформулювати основні теореми про послідовності, що збігаються.
3.7.	Дати означення нескінченно малої числової послідовності, навести приклади. Сформулювати властивості нескінченно малих послідовностей.
3.8.	Дати означення нескінченно великої числової послідовності, навести приклади. Сформулювати властивості нескінченно великих послідовностей та їх зв’язок з нескінченно малими послідовностями.
3.9.	Дати означення границі функції за Коші та за Гейне. Чи є вони еквівалентними?
3.10.	Дати означення границь функції на нескінченності та нескінченних границь, а також односторонніх границь.
4.1.	Що таке невизначеність. Навести приклади.
4.2.	Назвати основні методи розкриття невизначеностей раціональних функцій.
4.3.	Назвати основні методи розкриття невизначеностей тригонометричних функцій. Що таке перша визначна границя?
4.4.	Що таке друга визначна границя? Для яких невизначеностей її застосовують?
4.5.	Дати означення функцій вищого порядку мализни, нижчого порядку, одного порядку мализни, еквівалентних функцій.
4.6.	Навести основні еквівалентності для нескінченно малого аргументу.
5.1.	Дати означення функції, неперервної в точці та на відрізку. Навести властивості функцій, неперервних в точці та властивості функцій, неперервних на відрізку.
5.2.	Що можна сказати про неперервність елементарних функцій?
5.3.	Дати визначення точки розриву.
5.4.	Назвати типи точок розриву. Навести приклади
	.

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 3

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ

ОДНІЄЇ ТА БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

Похідна функції однієї змінної

Диференційованість функції однієї змінної. Правила обчислення похідних

Спочатку розглянемо поняття дотичної. Відоме зі шкільного курсу, воно носить формальний характер і не дозволяє побудувати дотичну в загальному випадку. Дамо інше визначення дотичної.

Виберемо на кривій точку і проведемо в ній будь-яку січну (рис. 6.1). Якщо точку пересувати вздовж кривої до точки , то січна буде займати положення , і т.д.

Рисунок 6.1 – Ілюстрація к поняттю дотичної

Припустимо, що при необмеженому наближенні точки до точки січна намагається зайняти певне положення . В цьому випадку пряму називають дотичною до кривої в точці .

Звернемо увагу на те, що точку ми вибираємо довільно, тобто з будь-якого боку від точки , але граничне положення січної повинне бути тим самим (рис. 6.2). Якщо залежно від вибору точки січна прагне зайняти різні положення, то дотичної у точці не існує (або говорять, що існує правобічна та лівобічна дотичні) (рис. 6.3).

Рисунок 6.2 – Вертикальна дотична

Рисунок 6.3 – Відсутність дотичної в точці

На рис. 6.2 дотичною до кривої в точці є пряма , на рис. 6.3 дотичної у точці не існує (існує лівобічна дотична і правобічна дотична ; дотична в точці існувала б у тому випадку, якби збіглася б з ).

Дамо означення поняттю похідної.

Нехай – деяка функція, задана на інтервалі . На кривій, що визначається рівнянням візьмемо довільну точку з абсцисою з інтервалу . Значення функції в цій точці буде . Надамо аргументу приросту таким чином, щоб точка теж належала інтервалу . Новому значенню відповідає точка кривої. Значенням функції в новій точці буде .

Рисунок 6.4 – Ілюстрація поняття похідної

Приріст функції складе (рис. 6.4) . Побудуємо відношення , яке показує, у скільки разів «у середньому» приріст функції більше (або менше) приросту її аргументу. Це відношення називають середньою швидкістю зміни функції на ділянці . Чим менше значення , тим краще середня швидкість на ділянці буде характеризувати ту швидкість, з якої міняється функція в точці . Тому за швидкість зміни функції в точці природньо прийняти границю

Ця границя і називається похідною.

Якщо існує скінченна границя відношення

при

, то цю границю називають похідною функції

в точці

і позначають

. (6.1)

Означення похідної можна подати й у такому вигляді.

Похідною функції

називають границю відношення приросту функції до нескінченно малого приросту аргументу, який його викликав.

Знаходження похідної функції називають її диференціюванням. Якщо функція

має похідну в точці

, то кажуть, що функція

диференційована в точці

. Якщо функція

диференційована в кожній точці інтервалу

, то вона є диференційованою на інтервалі

Похідна представляє собою швидкість зміни функції в точці , тобто швидкість, з якою змінюється функція при переході через точку. Такий найбільш загальний зміст похідної.

Поняття похідної дозволяє характеризувати локальну поведінку функції і ввести апарат дослідження функцій.

Розглянемо на площині криву , задану рівнянням (рис. 64). Візьмемо точки і на кривій . Пряма називається січною. Вона утворює з додатним напрямком осі кут . Кутовий коефіцієнт січної дорівнює тангенсу . З розгляду трикутника маємо .

Почнемо рухати точку вздовж кривої до точки . При цьому точка нескінченно наближується до точки , а січна змінює своє положення, аж доки не займе положення дотичної . Пряма утворює з віссю кут , тому її кутовий коефіцієнт дорівнює .

При нескінченному наближенні точки до точки січна нескінченно наближується до дотичної . Отже, при цьому або, враховуючи неперервність тангенса(очевидно, що умову можна замінити )

Таким чином, кутовий коефіцієнт невертикальної дотичної до графіка функції в точці дорівнює значенню похідної в точці : . У цьому полягає геометричний зміст похідної.

Механічний зміст похідної: похідна функції в точці визначає швидкість зміни функції в цій точці.

У теоретичному плані підкреслимо, що існування границі, якою виражається похідна, треба розуміти в загальному значенні існування границі функції в точці. Це означає, що повинна існувати не тільки при , але й при , причому обидві границі повинні збігатися. У цій вимозі й полягає умова існування похідної у точці .

З геометричної точки зору ця умова означає незалежність граничного положення січної від того, чи вибирали ми точку праворуч або ліворуч від точки , на що було зазначено раніше.

Правило знаходження похідної

1)	надамо значенню довільного приросту ;
2)	обчислимо приріст функції ;
3)	складемо відношення ;
4)	знайдемо границю цього відношення при : .

Приклад 6.1.

Знайти похідну функції

Розв’язання. За допомогою правила знаходження похідної аргументу надамо приросту , тоді приріст досліджуваної функції складе

Відношення приросту функції до приросту аргументу має вигляд:

Границя цього відношення при і становить похідну функції:

Теорема 6.1.

(зв’язок між диференційованістю та неперервністю функції) Якщо функція

в точці

диференційована, то

неперервна в цій точці.

Зауваження.

З неперервності функції не впливає її диференційованість. Наприклад, функція

є неперервною, але не диференційованою (рис. 6.5).

Рисунок 6.5 – Графік неперервної недиференційованої функції.

Основні властивості похідної

1)	Сталий множник можна винести за знак похідної: .
2)	Похідна від алгебраїчної суми двох диференційованих функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідній цих функцій: .
3)	Похідну добутку двох диференційованих функцій обчислюють за формулою: .
4)	Похідна частки двох диференційованих функцій дорівнює , якщо .
5)	Похідна складної функції: Нехай – складна функція. Якщо має похідну в точці , а має похідну у відповідній точці , то складна функція має похідну в точці : .
6)	Похідна оберненої функції: Нехай для диференційованої функції існує обернена , яка теж є диференційованою функцією. Тоді їхні похідні пов’язані відношенням: .

Таблиця похідних основних елементарних функцій. Похідні вищих порядків

Таблиця похідних основних елементарних функцій:

1)	5)	9)
2)	6)	10)
3)	7)	11)
4) ,	8)	12)

Нехай функція диференційована на деякому проміжку. Похідну називають похідною першого порядку або першою похідною функції . Якщо перша похідна є диференційованою функцією на проміжку, то її похідну називають другою похідною або похідною другого порядку функції і позначають .

Аналогічно вводять поняття похідної п-го порядку:

де – натуральне число.

Отже, похідна від похідної – це похідна другого порядку . Похідну третього порядку позначають таким чином: і т.д.

Похідні порядку вище першого називають похідними вищих порядків.

Якщо – закон прямолінійного руху матеріальної точки, то ‑ це прискорення цієї точки в момент часу . В цьому полягає фізичний зміст другої похідної.

Приклад 6.2.

Знайти похідну функції

Розв’язання. Диференціюємо спочатку тангенс, враховуючи, що роль проміжного аргументу виконує . Одержимо . Тепер подумки закреслимо значок « » і бачимо перед собою вираз . Диференціюємо корінь: і потім подумки закриваємо значок кореня. Залишається . Диференційований логарифм (проміжним аргументом є ): . Після викреслювання значка « » залишається , що при диференціюванні дає . Тепер похідна запишеться у вигляді добутку всіх проміжних результатів диференціювання: