Використання похiдноi до дослiдження властивостей функцiї.
У курсах математичного аналізу вищої школи за допомогою похідної досліджують функції здебільшого на: 1) монотонність; 2) екстремум; 3) досягнення найбільших і найменших значень; 4) опуклість, угнутість та знаходження точок перегину. У шкільному курсі алгебри і початків аналізу на рівні обов'язкових результатів навчання доцільно ознайомити учнів лише з першими трьома дослідженнями. До того під час дослідження функцій на екстремум досить обмежитися використанням лише першої похідної.
На основі розглянутих прикладів слід задати учням запитання: як за допомогою похідної сформулювати достатні умови зростання і спадання функції, які дадуть змогу знайти, не знаючи графіка функції, проміжки зростання (спадання) функції та використати їх для побудови графіка?
Важливо сформувати в учнів практичні навички застосування вивчених теорем для дослідження різних функцій на монотонність. Досвід свідчить, що така робота відбувається ефективніше, якщо на прикладі дослідження однієї-двох функцій сформулювати відповідний алгоритм.
Для того щоб знайти проміжки зростання (спадання) функції, потрібно:
1) знайти область визначення функції та точки розриву;
2) знайти похідну;
3) записати і розв'язати нерівність f'(x) > 0 і вибрати із множини її розв'язків проміжки, на яких функція визначена. Знайдені проміжки є проміжками зростання функції;
4) записати нерівність f(x) < 0 і вибрати із множини її розв'язків проміжки, на яких функція визначена. Знайдені проміжки є проміжками спадання функції.
|
|
|
Дослідження функцій на максимуми, мінімуми, найбільші та найменші значення. Спочатку потрібно ввести низку нових для учнів понять, які відразу використовуватимуться. Йдеться про поняття: точка максимуму функції, точка мінімуму функції, точка екстремуму, максимум функції, мінімум функції, екстремуми функції. Досвід доводить, що деякі учні плутають поняття «точка максимуму функції» та «максимум функції», «точки екстремуму функції» й «екстремум функції».
Для того щоб дослідити функцію на екстремум, потрібно:
1) знайти критичні точки: прирівняти до нуля похідну f'(x), розв'язати отримане рівняння і приєднати до коренів рівняння f'(x) = 0 точки, в яких похідна не існує;
2) розмістити критичні точки на координатній прямій в порядку їх зростання;
3) дослідити знак похідної f'(x) спочатку ліворуч, а потім праворуч від кожної критичної точки. Якщо з переходом х через критичну точку похідна змінює знак з «+» на «-», то в цій критичній точці функція у = f (х) має максимум; якщо знак f'(x) змінюється з «-» на «+», то в цій точці функція у = f (x) має мінімум. Якщо з переходом х через критичну точку похідна f'(x) не змінює знака, то в цій критичній точці функція не має ні максимуму, ні мінімуму;
|
|
|
4) обчислити максимуми та мінімуми функції, підставивши в формулу у = f(x) значення точок максимуму і точок мінімуму.
Для того щоб знайти проміжки зростання (спадання) й екстремуми функції, потрібно:
1) знайти область визначення функції;
2) знайти критичні точки функції, розмістити їх в порядку зростання і занести до таблиці разом із проміжками, на яких функція визначена;
3) за контрольними точками знайти знак похідної на кожному з отриманих проміжків;
4) визначити за знаком похідної характер зміни (зростання чи спадання) на кожному з проміжків;
5) виявити наявність екстремуму в кожній критичній точці та обчислити його.
Розв'язуючи вправи на відшукання найбільшого і найменшого значень функції доцільно навести алгоритм, який складається з трьох кроків:
1) знайти всі критичні точки функції на відрізку а; b;
2) обчислити значення функції в усіх критичних точках і на кінцях а і Ь відрізка;
3) з отриманих чисел вибрати найбільше і найменше.
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 178; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!