Свойства математического ожидания.
1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине:
М(С) = С
2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
М(СХ) = С·М(Х)
3) Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
М(Х1 + Х2 + …+ Хn) = М(Х1) + М(Х2) + ... + М(Хn)
4) Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:
М(Х1 · Х2 · ... · Хn) = М(Х1) · М(Х2) · ... · М(Хn)
Дисперсия дискретной случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:
D(X) = (x1 - M(X))2p1 + (x2 - M(X))2p2 + ... + (xn- M(X))2pn = x21p1 + x22p2 + ... + x2npn - [M(X)]2
Свойства дисперсии.
1) Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С) = 0
2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СХ) = С2 · D(Х)
3) Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(Х1 ± Х2 ± ... ± Хn) = D(Х1) + D(Х2) + ... + D(Хn)
Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии:
σ(X) = √D(X)
Мода дискретной случайной величины Mo(X) - это значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность. На многоугольнике распределения мода - это абсцисса самой высокой точки. Бывает, что распределение имеет не одну моду.
|
|
|
Коэффициент вариации случайной величины - это относительная мера вариации.
V(X) = |σ(X)/M(X)| · 100%
Асимметрия (коэффициент асимметрии) случайной величины (и дискретной, и непрерывной) As(X) - величина, характеризующая степень асимметрии распределения относительно математического ожидания. Коэффициент асимметрии дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
As(X) = [(x1-M(X))3p1 + (x2-M(X))3p2 + ... + (xn-M(X))3pn]/σ3
Если коэффициент асимметрии отрицателен, то либо большая часть значений случайной величины, либо мода находятся левее математического ожидания, и наоборот, если As(X)>0, то правее.
Эксцесс (коэффициент эксцесса) случайной величины (и дискретной, и непрерывной) Ex(X) - величина, характеризующая степень островершинности или плосковершинности распределения, т.е. степень так называемого «выпада». Коэффициент эксцесса дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
Ex(X) = [(x1-M(X))4p1 + (x2-M(X))4p2 + ... + (xn-M(X))4pn]/σ4 – 3
Законы распределения и числовые характеристики непрерывных случайных величин
Числовые характеристики непрерывных СВ
Функция распределения 
или плотность распределения 
полностью определяет непрерывную СВ. Однако, СВ может быть задана также несколькими числовыми характеристиками, к которым относятся, прежде всего, математическое ожидание (МО) и дисперсия.
|
|
|
МО или средним значением непрерывной СВ X называется число, определяемое по формуле:
Дисперсией непрерывной СВX называется математическое ожидание квадрата её отклонения от среднего значения:
Арифметическое значение корня квадратного из дисперсии называется средним квадратическим отклонением (СКО):
Свойства МО:
1. МО суммы СВ равно сумме их математических ожиданий:
2. МО произведения независимых (вероятность появления одной, не влияет на вероятность появления другой величины) СВ равно произведению их МО:
3.СКО среднего арифметического для n одинаково распределённых и взаимно независимых случайных величин в корень из n раз ( 
) меньше СКО для каждой случайной величины:
Свойства дисперсии:
1. Дисперсия постоянной величины равна 0.
2. Дисперсия сумм (или разности) двух независимыхСВ равна сумме их дисперсий:
Распределения непрерывных случайных величин.
Наиболее распространённымиявляются распространенными непрерывных СВ равномерное, показательное (экспоненциальное), нормальное, усеченное нормальное.
|
|
|
а) Равномерное распределение:
Непрерывное СВX принимающая значения (a;b) имеет равномерное распределение, если плотность распределения имеет вид:
|
 |
|
|
|
|
|
Функция распределения СВX имеет вид:
|
 |
|
|
|
|
|
Числовые характеристики СВ Х равномерно распределенной в интервале (a;b) имеют следующие значения:
б) Показательное распределение:
Непрерывная СВX принимающая неотрицательные значения в интервале (0; +∞) имеет показательное распределение, если плотность распределения имеет вид:
где 
–параметр распределения.
Функция распределения в этом случае имеет вид:
Числовые характеристики показательного распределения определяются по следующим формулам:
В) Нормальное распределение
Нормальным называют распределение СВ Х, которое имеет плотность
|
– математическое ожидание
|
– СКО
 |
|
|
|
Функция распределения в этом случае определяется по следующей формуле:
Введём в рассмотрение нормированную и центрированную случайную величину с нормальным распределением:
|
|
|
СВ наз-ся центрированной, если её СО равна 0.
СВ наз-ся нормированной, если её СКО (и дисперсия) равна 1.
Для неё составлена табличная функция Лапласа, имеющая вид:
С помощью табличной функции Лапласа можно определить вероятность попадания СВ Х в заданный интервал ( 
; 
):
Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной СВ Х от её МО по абсолютной величине меньше заданного числа 
, т.е. требуется найти:
Заменим неравенство с модулем равносильным ему двойным неравенством.
Тогда по формуле (*) получим:
Т.к. функция Лапласа нечетная.
4. Случайные события. Потоки событий.
Случайные события
Случайным называется событие, которое при определённой совокупности условий (во время испытаний) может произойти или не произойти. Каждому событию из множества возможных соответствует вероятность события. Вероятность достоверного события, которое обязательно должно произойти равна 1. Вероятность невозможного события равна 0. Вероятность любого случайного события есть положительное число, заключённое между 0 и 1.
События называются несовместными, если появление одного из них исключают появление других событий в одном и том же испытании. События называются независимыми, если появление одного события не изменяет вероятность появления другого события.
Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытаний появится хотя бы одно из них. Если при этом события попарно несовместны, то в результате испытаний появятся только одно из них.
Потоки событий
Потоком событий называется последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Поток событий называется однородным, если он характеризуется только моментами наступления событий.
,t-1., ,t-2., …, ,t-i.,,t-i+1.,…,,t-n. (,t-i.<,t-i+1.)
Поток неоднородных событий характеризуется моментами времени наступления событий и набором признаков
,ψ-1., ,ψ-2., …, ,ψ-i.,,ψ-i+1.,…,,ψ-n.
К числу признаков может относиться, например, приоритет заявки.
Поток событий может обладать свойством стационарности, которое заключается в том, что вероятность появления k-событий на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности промежутка и не зависит от положения промежутка на оси времени.
Поток событий может обладать свойством отсутствия последействия, если появления k-событий на любом промежутке времени не зависит от предыстории, т.е. от того появлялись ли события в предыдущие моменты времени.
Поток событий может обладать свойством ординарности, если появление двух или более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Если поток событий обладает свойствами стационарности, отсутствие последействия и ординарности его называют простейшим (пуассоновским) потоком.
Интенсивностью потока называется среднее число событий, которые появляются в единицу времени.
Для простейшего потока время между двумя соседними событиями является случайной величиной с показательным распределением.
Его можно задать функцией распределения:
где - параметр распределения (интенсивность потока).
МО времени T между соседними событиями:
Соответственно СКО времени T между соседними событиями:
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 213; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!