Интегрирование тригонометрических функций
Интегралы вида в общем случае вычисляются подстановкой (универсальная подстановка).
При этом , ,
и подынтегральная функция становится рациональной функцией от .
Задача 23. Найти .
Решение.
Делая подстановку и используя соответствующие формулы для , интеграл запишем в виде:
Ответ. .
Задача 24. Найти .
Решение. Выполним универсальную подстановку .
Тогда, используя указанные формулы для , получаем:
= = .
Ответ. .
!Интегралы вида , где - целые числа, удобно вычислять подстановкой .
!Интегралы вида , где - числа разной четности, вычисляются подстановкой , если четно и , если четно.
!Интегралы вида ; ; , где , вычисляются с использованием формул тригонометрии, преобразующих произведение тригонометрических функций в их сумму:
.
Задача 25. Найти .
Решение. В подынтегральную функцию входит четная степень , поэтому вводим новую переменную , тогда . Выполним следующие преобразования:
.
Ответ. .
Задача 26. Найти .
Решение. Воспользуемся формулой произведения синусов:
.
Ответ. .
Интегрирование иррациональных выражений
После соответствующей замены переменных многие иррациональные функции можно свести либо к рациональным дробям, либо к тригонометрическим выражениям, интегрирование которых будет рассмотрено ниже.
Для дробно-линейных иррациональностей удобной заменой является выбор в качестве новой переменной подкоренного выражения в степени , где р – наименьший общий знаменатель дробных степеней в подынтегральном выражении.
|
|
Задача 27. Найти .
Решение. Сделаем замену переменной: .
Тогда , Подставим полученные результаты в подынтегральное выражение:
Ответ.
При интегрировании квадратичных иррациональностей привести подынтегральное выражение к рациональному виду помогают тригонометрические замены:
, если в подынтегральную функцию входит ,
для ,
, если подынтегральная функция содержит , .
Задача 28. .
Решение. Выделив полный квадрат в квадратном трехчлене, получим:
, где u = x + 1. Теперь сделаем замену переменной: Подынтегральное выражение при этом примет вид:
Ответ.
Иногда от квадратичных иррациональностей можно избавиться с помощью замен другого типа.
Задача 29. .
Решение.
Сделаем так называемую обратную подстановку: , .
Тогда
Ответ.
!Интегралы вида ,
где - целые числа, сводятся к интегралу от рациональных функций заменой переменной , где - наименьшее общее кратное чисел (НОК ). Аналогичная подстановка делается, если вместо содержатся выражения вида или .
|
|
Задача 30. Найти .
Решение. Т.к. НОК (2;3)=6, то делаем подстановку:
, и исходный интеграл принимает вид:
Переходя к переменной , получим:
Ответ. !Интегралы вида , где - вещественные числа, в общем случае вычисляются одной из подстановок Эйлера:
, ;
, ;
или ,
где и - различные вещественные корни трехчлена .
Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 145; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!