Интегрирование рациональных дробей.
Методы вычисления интегралов
Непосредственное интегрирование
Задача 1. Найти интеграл
.
Решение. Разбиваем интеграл на три интеграла и работаем с каждым:
Дифференцированием первообразной проверим правильность интегрирования:
Полученное выражение совпадает с подынтегральной функцией, т.е. интегрирование проведено правильно.
Ответ. 
Задача 2.Найти 
.
Решение. 
.
Ответ. 
.
Задача 3 . Найти 
.
Решение. 
.
Ответ. 
.
Задача 4.Найти 
.
Решение. 
.
Ответ. 
.
Задача 5 . Найти 
.
Решение. 
.
Ответ. 
.
Задача 6 . Найти 
.
Решение. 
.
Ответ. 
.
Метод замены переменной (метод подстановки)
Выбор замены определяется видом подынтегральной функции. Цель – выполнить такую замену, в результате которой исходный интеграл превратится в табличный.
За новую переменную иногда выбирают такую функцию, стоящую в подынтегральном выражении, которая содержит под знаком интеграла и свою производную с точностью до постоянного множителя.
Например, удобно обозначать за новую переменную знаменатель дроби подынтегральной функции, если в числителе содержится его производная с точностью до постоянного множителя.
Задача 7.Найти 
.
Решение. Сделаем замену переменной: x² = t . Тогда 
. Следовательно, 
Можно было выполнить замену: 
, тогда 
, а 
.
Ответ. 
Задача 8 . Найти 
.
Решение. 
Ответ. 
.
Задача 9.Найти 
.
Решение. 
.
Ответ. 
.
Задача 10. Найти 
.
Решение. 
.
Ответ. 
.
Часто за новую переменную удобно брать подкоренное выражение, если под знаком интеграла присутствует также его производная с точностью до постоянного множителя.
Задача 11 . Найти 
.
Решение. 
.
Ответ. 
.
Задача 12 . Найти 
.
Решение. 
.
Ответ. 
.
За новую переменную иногда выбирают функцию, стоящую в основании степени, если подынтегральное выражение содержит производную этой функции с точностью до постоянного множителя.
Задача 13 . Найти 
.
Решение. 
.
Ответ. 
.
Задача 14. 
.
Решение. 
=
= 
.
Ответ. 
.
Задача 15 . Найти 
.
Решение. 
.
Ответ. 
.
Метод интегрирования по частям.
|
– формула интегрирования по частям.
Задача 16.Найти 
.
Решение. Обозначим 
. Тогда 
. Далее, 
, а потому 
. Следовательно, 
. В полученном интеграле выделим целую часть подынтегральной функции (поскольку дробь - неправильная):
.
Окончательно решение выглядит так:
.
Ответ. 
.
Задача 1 7 . Найти 
.
Решение. Пусть 
, 
.
Тогда 
; 
.
= 
.
К последнему интегралу применим метод интегрирования по частям, полагая 
; . Отсюда следует: 
; 
, и окончательно получаем:
= 
.
Ответ. 
.
Задача 18 . Найти 
.
Решение. 
=
= 
.
Ответ. 
.
Задача 19 . Найти 
.
Решение.
= 
=
Чтобы взять последний интеграл, умножим и разделим числитель на 9, затем в числителе прибавим и отнимем единицу, после чего разобьем интеграл на два табличных:
= = 
= 
= 
= 
.
Ответ. 
.
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Основные идеи заключаются в выделении в квадратном трехчлене полного квадрата и в проведении линейной замены, позволяющей свести исходный интеграл к табличным.
Задача 20. Найти 
.
Решение. Выделим полный квадрат в знаменателе: 
,
тогда 
= 
. Применили формулу (14) из таблицы интегралов.
Ответ. 
Задача 21 . Найти 
.
Решение.
При решении этого примера потребуются дополнительные преобразования, связанные с присутствием переменной в числителе подынтегральной функции. Выделив полный квадрат в знаменателе 
, получим:
= 
= 
Для второго из интегралов в силу табличной формулы (12) имеем: 
. В первом интеграле проведем внесение под знак дифференциала:
.
Таким образом, собирая все вместе и возвращаясь к переменной x, получаем:
= 
.
Ответ. 
.
Интегрирование рациональных дробей.
Задача 22.Найти 
.
Решение. Под знаком интеграла стоит рациональная дробь.
1. Так как подынтегральная рациональная дробь неправильная (степень многочлена в числителе выше степени многочлена в знаменателе), то выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель “уголком”:
Итак, подынтегральную функцию можно записать в виде: 
.
Тогда исходный интеграл (обозначим его J), можно представить как сумму интегралов: 
.
2. Чтобы взять полученный новый интеграл от правильной рациональной дроби (обозначим его J1), разложим знаменатель подынтегральной функции на множители.
Для этого найдем корни квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе:
.
Тогда 
.
3. Представим полученную правильную дробь в виде суммы элементарных дробей:
(*)
Здесь А и В - числа, которые нужно найти. В правой части (*) приведем дроби к общему знаменателю 
.
Так как дроби тождественно равны и равны их знаменатели, то должны быть равны и их числители:
или
или
Это тождество выполняется тогда и только тогда, когда слева и справа равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Получаем систему линейных уравнений:
.
Вычитая из второго уравнения первое, получаем 
.
Тогда 
.
Подставим найденные числа в равенство (*):
.
4. Вернемся к интегралу J1:
= 
= 
=
= 
.
5. Окончательно искомый интеграл равен:
.
Ответ. 
.
Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 151; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!