Варианты построения оснований математической общей теории систем
В основу математической общей теории систем могут быть положены те или иные системные концепции математики. Наиболее общие из них опираются на теорию множеств и теорию отношений. Имеющиеся до настоящего времени варианты построения математической общей теории систем непосредственно или косвенно опираются на теорию множеств и отношений. В настоящее время различают теоретико-множественный, структурно-математический, логико-алгебраический и категорийно-функторный варианты построения оснований математической общей теории систем.
Перечисленные варианты в основном исходят из сложившихся наиболее общих конструкций математики. Задача математической общей теории систем состоит в трансформации соответствующих фундаментальных положений математики, связанных с данными конструкциями, в общие задачи исследования абстрактных и материальных систем. При нашем изложении будем придерживаться в основном теоретико-множественного подхода [7-9].
Множества. Основные определения.
Операции над множествами
Под множеством понимают объединение в одно общее объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью. Это определение принадлежит основателю теории множеств Георгу Кантору. Существует ряд других определений понятия множества, так или иначе апеллирующих к интуитивному смыслу этого понятия. Поэтому понятие множества в математике является первичным и, следовательно, не имеет строгого определения, удовлетворяющего современным требованиям.
|
|
|
Объекты, которые образуют множество, будем называть элементами множества и обозначать, как правило, малыми буквами латинского алфавита, сами множества – большими латинскими буквами А, В, С, О, X, У и т.д. Принадлежность элемента х к множеству X фиксируется записью 
. Противоположное утверждение записывается в виде 
Множество У называется подмножеством (частью множества) X, если оно содержит только элементы, входящие в X. Формальная запись при атом имеет вид 
Два множества X и У равны тогда, когда имеет место 
и 
т.е. множества состоят из одинаковых элементов (при этом наличие повторяющихся элементов не принимается во внимание). Если 
и 
множество У называется собственным подмножеством X.
Различают конечные множества, состоящие из конечного числа элементов, и бесконечные множества, число элементов которых бесконечно. Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым и обозначается 
Множество может быть задано различными способами: конечное множество 
может быть задано простым перечислением его элементов, записываемых в фигурных скобках: 
другой способ, используемый при задании как конечных, так и бесконечных множеств, состоит в указании свойства Р(х), которым обладают элементы данного множества 
|
|
|
В качестве такого свойства, например, может рассматриваться принадлежность элемента х к одному из следующих видов отрезков вещественной оси: замкнутому 
, разомкнутому 
замкнутому слева 
замкнутому справа 
.
Для каждого множества 
существует множество, элементами которого являются подмножества множества 
Такое множество называется булеаном множества и обозначается В (х). Так, булеаном множества 
будет
B(M) = 
(2.1)
Очевидно, что мощность (число элементов для конечных множеств) 
булеана равна 
Одним из понятий теории множеств является понятие декартова (прямого) произведения множеств, которое является одной из основных математических конструкций.
Декартовым произведением n множеств 
называется множество упорядоченных n-ок (упорядоченных наборов длины n, кортежей длины n), таких, что первый элемент принадлежит 
второй – 
В частности, если имеет место 
декартово произведение называется n-кратным или декартовой n-й степенью и обозначается 
. Для декартовых произведений может использоваться геометрическая интерпретация. В атом случае множества 
называются осями координат n-мерного пространства, а кортежи <х1, х2,..., хn > – точками этого пространства. Случай n = 2 декартова произведения множеств А и В приведен на рис. 2.1.
|
|
|
Рис. 2.1
Дальнейшее обобщение понятия, декартова произведения возможно путем введения булеанов как от исходных множеств, так и от формируемых декартовых произведений. Н.Бурбаки назвал конструируемое таким обрамим множество 
ступенью шкалы, строящийся над базисными множествами 
Определение множества 
производится за 
шагов путем последовательного построения множеств 
в соответствии с заданной схемой образования (схемой конструкции) ступени 
Элемент 
последнего кортежа представляют собой пары 
определяющие 
по следующему правилу:
а) если 
и 
принимается 
б) если 
и 
принимается 
в) если 
и 
принимается 
Очевидно, что на этом пути могут быть получены образования, включающие в качестве частных случаев различные декартовые произведения базисных множеств 
булеаны этих множеств и их декартовых произведений, декартовы произведения базисных множеств и их булеанов и т.д. вплоть до формирования на последнем m-м шаге множества 
как угодно сложной конструкции. Это множество и есть ступень над базисными множествами 
построенная по схеме 
и обозначаемая
|
|
|
Например, пусть 
– базисные множества. Если 
имеем 
если 
имеем 
если 
то 
Множества X к У называются эквивалентными, или множествами одинаковой мощности 
, если между их элементами существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому элементу 
соответствует один и только один элемент 
и наоборот. Данное определение является основой для анализа важнейшей характеристики множеств – их мощности. Конечное множество 
можно поставить во взаимно однозначное соответствие с частью натурального ряда чисел 
путем перенумеровки членов данного множества.
Мощность множеств характеризуется так называемыми кардинальными числами. Кардинальное число конечного множества 
, состоящего из 
элементов, равно 
(card 
). Кардинальное число булеана данного множества определяется следующим образом: card 
Бёсконечным множествам соответствуют бесконечные числа. Бесконечные множества делятся на счетные (бесконечностные) и несчетные. Счетные множества – это такие множества, которые могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с натуральным рядом чисел 
и имеют, следовательно, мощность данного ряда. Последняя выражается бесконечным кардинальным числом 
Алеф0 является наименьшим числом в ряду бесконечных чисел, оценивающих мощность бесконечных множеств, так называемы: трансфинитов. В качестве следующего числа обычно рассматривается 
(алеф1), равный кардинальному числу булеана натурального ряда чисел 
Такую мощность имеет множество вещественных чисел, находящихся в пределах отрезка [0,1]. Множества, кардинальные числа которых равны 
, называются континуальными, или множества мощности континуума. Следующими рассматриваются множества с кардинальными числами 
и т.д. [1. 7].
Например, кардинальное число множества всех вещественных функций равно 
Предположения о том, что кардинальное число 
непосредственно следует за 
(континуум-гипотеза), 
- за (обобщенная континуум-гипотеза), не могут быть не доказаны, ни опровергнуты, и поэтому эти предложения вводятся как аксиомы [1-7].
Для множеств вводятся операции объединения 
пересечения 
взятия разности \, определяемые указанием свойств 
для элементов множества, получаемого в результате выполнения соответствующих булевских операций (см. рис. 2.2):
или 
или 
(2.2)
или 
х 
у х 
у
Рис. 2.2
Вводится также операция взятия симметрической разности 
определяе-мая следующим образом:
(2.3)
Путем непосредственного обобщения определяются операции объединения и пересечения семейства множеств 
где 
– множество индексов; 
– это множество элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному 
– это множество элементов, принадлежащих сразу всем 
При этом выполняются следующие алгебраические законы:
1) 
(идемпотентность);
2) 
(коммутативность);
3) 
(ассоциативность);
4) 
(поглощение);
5) Если 
то 
– модулярность;
6) 
(дистрибутивность);
7) 
(универсальные границы);
здесь S – универсум;
8) 
– дополняемость;
9) 
(инволютивность);
10) 
(законы де Моргана).
Другим важным понятием, которым мы будем часто пользоваться, является понятие разбиения. Разбиением данного множества X называется такое семейство множеств 
где J – некоторое множество индексов и 
при всех 
что
1) 
2) 
3) 
При заданном разбиении 
мы пишем 
когда х и у являються элементами одного и того же множества 
тем самым определено отношение, которое обозначается символом 
и обладает следующими свойствами:
1) рефлексивностью: 
2) симметрией: 
3) транзитивностью: 
Всякое отношение со свойствами 1, 2, 3 называется эквивалентностью. В свою очередь, эквивалентность определяет, очевидно, разбиение множества X на множества вида 
(где х0 – дання точка Х). Множество Аі называют классом эквивалентности, содержащим х0.
Пример 1. Пусть Р – целое число; пишем 
если х и у – два целых числа, отличающихся слагаемым, кратным Р. Ясно, что это отношение – эквивалентность.
Пример 2. Если две прямые Д и Д/ параллельны или совпадают, то пишем Д ׀׀ Д/; очевидно, ׀׀ есть отношение эквивалентности.
Пример 3. Если у двух людей х и у глаза одинакового цвета, то пишем х у, ясно, что есть отношение эквивалентности.
Пусть и 
– два данных множества; закон 
, согласно которому каждому элементу 
ставится в соответствие элемент 
называется однозначным отображением Х в У, или функцией, определенной на X и принимающей значения в У; например, числовая функция вещественной переменной представляет собой однозначное отображение R в R (здесь R – множество вещественных чисел).
Многозначное отображение Г множества X в множество У есть закон, по которому каждому элементу ставится в соответствие некоторое подмножество 
; при этом не исключается возможность 
Говоря просто "отображение", большинство авторов подразумевают однозначное отображение. Поскольку нам предстоит иметь дело главным образом с неоднозначными отображениями, мы не придерживаемся упомянутого соглашения и понимаем слово отображение в широком смысле.
Пусть Г – отображение данного множества X в У. При 
назовем образом множества А множество 
Можно проверить, что если 
- подмножества Х, то
(2.4)
Если Г и ∆ – отображения множества X в Х , то результат композиции Г∆ есть отображение, определяемое следующим образом: (Г∆) х = Г(∆х).Отображения Г2, Г3,… – определяются так:
Г2х = Г (Гх);
Г3х = Г (Г2х);
…………….
Транзитивным замыканием отображения Г называется следующее отображение 
множества Х в Х [1]:
(2.5)
Отображение Г-1, обратное отображению Г, определяется так:
Если В 
, то полагаем 
Пример 1. Возьмем в качестве множество людей и для 
обозначим через Гх множество детей человека х. Тогда: Г2 – множество внуков х; х – множество, состоящее из х и всех его потомков; Г-1 – родители и т.д.
Изображая людей точками и рисуя стрелку, идущую из х в у, в случае, когда х является отцом или матерью у, мы получим родословное или генеалогическое дерево.
Пример 2. Рассмотрим шахматную игру; каждое положение задается диаграммой (местонахождением фигур в данный момент) и ходом (указанием, кто из игроков должен в этот момент играть).
Пусть – множество возможных положений, Гх (где 
) – множество положений, которые по правилам игры можно получить непосредственно из х; если положение х – матовое или патовое, то Гх = 
. Имеем: Г3х – множество положений, которые можно получить из х тремя ходами; Г – множество положений, которые вообще можно рано или поздно получить, отправляясь от х; Г'-1А (где А 
X – множество тех положений, из которых возможно одним ходом получить какое-либо положение, входящее в А). Такая система обозначений позволяет выразить формулой множество выигрышных положений и вывести отсюда ряд свойств. В случае шахмат правила игры полностью определяются множеством X и отображением Г; однако здесь мы имеем дело с таким большим числом положений, что изобразить все их точками, а отношение Г – стрелками, соединяющими некоторые точки, практически невозможно. Тем не менее некоторые свойства, общие для правил шахматной игры и для отношений родства в группе людей, можно выявить, обращаясь к аксиоматическому методу.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ
Теория графов дает простой, доступный и мощный инструмент построения моделей и решения задач упорядочения объектов. В настоящее время существует множество проблем, где требуется построить сложные системы с помощью упорядочения их элементов. Сюда относятся календарное планирование промышленного производства, задачи теории сетевого планирования и управления, тактические и логические задачи, проблемы построения систем связи и исследования процессов передачи информации, выбор оптимальных маршрутов и потоков в сетях, методы 'построения электрических сетей, задачи идентификации в органической химии и способы построения переключательных схем. Комбинаторные методы нахождения нужного упорядочения объектов существенно отличаются от классических методов анализа поведения систем с помощью уравнений. Кроме языка теории графов задачи упорядочения объектов можно формулировать в терминах теории матриц с элементами ноль-один или в терминах теории конечных множеств. Однако с полным основанием можно сказать, что теория графов является одним из простейших и наиболее элегантных разделов современной математики с широкой областью применения. Имея в своей основе простейшие идеи и элементы – точки, соединенные линиями, теория графов строит из них богатое многообразие форм, наделяя эти формы интересными свойствами, и в результате становится полезным инструментом при исследовании самых разнообразных систем [10].
Вместо понятия графа часто используется понятие "сеть",Это особенно относится к случаям, когда кроме основных чисто структурных соотношений в графе задаются некоторые количественные характеристики точек и линий, образующих граф. В качестве примера можно назвать электрические сети, сети выполнения работ в проектах, сети потоков. При этом ребрам сети ставятся в соответствие определенные количественные характеристики энергии, затрат и потока [11].
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 265; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!