Колебания систем с двумя степенями свободы
Примером такой системы может быть невесомая балка с двумя сосредоточенными массами М1 и М2, рис. 15.10.
Уравнения перемещений масс имеют вид:
,
.
Здесь δ - единичные перемещения, а Р – силы инерции масс в случае собственных колебаний: и .
Так как при собственных колебаниях уравнения перемещений аналогично (15.6) имеют вид и , то, подставляя силы инерции и в уравнения перемещений, получим систему амплитудных перемещений:
, (15.40)
.
Приравнивая определитель этой системы нулю, получим биквадратное частотное уравнение
.
Корни этого уравнения
(15.41)
определяют две частоты собственных колебаний – меньшую ω1 и большую ω2.
Из системы уравнений (15.4) следует, что между амплитудами колебаний существует определенная зависимость
. (15.42)
Частоте ω1 соответствует коэффициент , а частоте ω2 – k 2 = B 2 / A 2. Так можно найти уравнения движения масс и скоростей движения:
,
,
,
. (15.43)
В этой системе четыре неизвестных – две амплитуды и две начальные фазы. Умножая первое и второе уравнения системы (15.43) на k2 и вычитая из них третье и четвертое уравнения при условии , , , находим амплитуды колебаний и начальные фазы:
,
,
, (15.44)
.
По амплитудам и частотам колебаний можно вычислить силы инерции и выполнить динамический расчет прочности балки.
В частном случае симметричной системы, когда , из (2.3) найдем:
|
|
, .
Этим частотам соответствуют коэффициенты k 1=1 и k 2=-1, определяющие две формы колебаний – симметричную с низшей частотой колебаний ω1 и кососимметричную с частотой ω2, рис. 15.11:
,
. (15.45)
Дважды дифференцируя уравнения движения (15.45), можно найти ускорения, а затем и силы инерции колеблющихся масс:
,
.
С учетом перемещений (15.45) получаем:
,
.
В случае вынужденных колебаний (без учета сопротивления движению) от заданной гармонической нагрузки и
система амплитудных уравнений (15.40) будет неоднородной:
,
.
Отсюда находим амплитуды вынужденных колебаний:
,
Здесь главный определитель системы
.
Поперечные колебания систем с распределенными параметрами
Системами с распределенными параметраминазываются системы с бесконечным количеством сосредоточенных масс или системы с массой распределенной по известному закону. Ограничимся рассмотрением систем с равномерно распределенной массой интенсивностью m.
Используем приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки, рис. 15.12.
и дважды его дифференцируем
. (15.46)
Здесь - интенсивность сил инерции от распределенной массы и возмущающей нагрузки.
|
|
Если возмущающей нагрузки нет, когда , то получим дифференциальное уравнение движения сечений балки при собственных колебаниях.
Собственные колебания весомых балок
Дифференциальное уравнение движения сечений балки имеет вид
. (15.47)
Решение этого уравнения ищем методом Фурье, т.е. функцию двух переменных представляем в виде произведения двух функций , что соответствует стоячим волнам, когда отношение произвольного перемещения в любом сечении балки к перемещению в зафиксированное время будет лишь функцией времени , т.е. .
Подставляем это решение в (15.47)
.
Разделим это равенство на произведение
. (15.47)
В этом отношении левая часть, содержащая лишь функции z, не зависит от времени t и равна правой частит, не зависящей от координаты z. Это значит, что такое отношение функций представляет постоянную величину, которую обозначим ω2.
.
Отсюда получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения.
Решение уравнения уже известно из 15.2, см. (15.4)
.
Решение второго уравнения
, (15.48)
ищем в виде , что приводит к характеристическому уравнению , корни которого , .
|
|
Так получаем уравнение изогнутой оси балки
или
. (15.49)
В виду линейности исходного дифференциального уравнения его удовлетворяет бесконечная сумма решений (15.49), т.е.
. (15.50)
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 450; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!