Собственные незатухающие колебания
Для возбуждения собственных колебаний сообщим сосредоточенной массе некоторую скорость движения или отклоним упругую систему (балку) из положения статического равновесия некоторой нагрузкой, которая затем снимается, и колебания происходят за счет сообщенной системе энергии, непрерывно переходящей из потенциальной в кинетическую и обратно.
Уравнение перемещений груза (15.1) будет иметь вид
или
, (15.2)
где обозначено 
.
Решение однородного уравнения, полученного из (15.2) при g=0, имеет вид
(15.3),
или
. (15.4)
Приравнивая (15.3) и (15.4), получим 
, откуда находим, что 
, 
. Отсюда получаем формулы перехода решения (15.3) в (15.4) и наоборот:
, 
. (15.5)
Частное решение уравнения (15.2) ищем в виде 
, подставляя которое в (15.2), получим 
, т.е., 
,
где 
- статический прогиб балки m в месте приложения груза.
Тогда полное перемещение массы
. (15.6)
Отсюда следует, что колебания происходят относительно положения статического равновесия. Значит, при изучении колебаний статическую нагрузку можно учитывать отдельно от динамической.
Выразим амплитуду колебаний С и начальную фазу μ через начальные параметры из условий 
, 
на основании уравнений:
, 
, оттуда получим:
, 
.
Амплитуда – это наибольшее перемещение колеблющейся массы.
|
|
|
Начальной фазой называется безразмерный параметр, определяющий начальное перемещений массы при колебаниях.
Следовательно: амплитуда, т.е. наибольшее перемещение колеблющейся массы:
, (15.7)
а начальная фаза, т.е. безразмерный параметр, определяющий начальное перемещений массы при колебаниях
. (15.8)
Циклическая частота колебанийи период колебанийопределяются формулами:
, 
. (15.9)
Отсюда следует 
, т.е. циклическая или круговая частота ω представляет количество колебаний за 2π секунд, а период колебаний 
- это время, через которое параметры колебательного процесса (перемещения, силовые факторы) повторяются. Период и частота связаны обратной зависимостью
.
После определения перемещений y(t) можно найти силу инерции колеблющейся массы 
, на которую следует рассчитывать заданную систему.
Аналогичные расчетные формулы будут при продольных колебаниях невесомого стержня с площадью поперечного сечения F при наличии сосредоточенной массы М. Обозначив продольные перемещения груза Q = Mg через u(t), получим:
, 
, 
. (15.10)
При крутильных колебаниях невесомого вала с диском, момент инерции которого относительно оси вращения задан
|
|
|
, (15.11)
(здесь: Δ – толщина диска, γ – плотность материала, 
- полярный момент инерции площади поперечного сечения диска) расчетные формулы (15.10) принимают вид:
, 
, 
. (15.12)
Здесь: φ0 - начальный угол закручивания вала в месте закрепления диска, θ0 - начальная угловая скорость вращения вала, 
- полярный момент инерции площади поперечного сечения вала диаметра d.
Пример 15.1.На невесомом канате со скоростью υ опускается груз Q = Mg, рис. 15.4. Найти расчетное напряжение в канате при внезапном защемлении его верхнего сечения, если длина каната l и его жесткость EF заданы.
Решение. После защемления каната возникают собственные колебания, вызванные воздействием начальной скорости движения массы.
Так как начального перемещения нет u 0=0, то согласно (15.10) амплитуда 
, начальная фаза μ=0, частота колебаний 
и уравнение движения груза 
.
Сила инерции колеблющейся массы 
.
С учетом статического нагружения расчетное усилие в канате
.
Следовательно, для определения динамического коэффициента k д нужно вычислить удлинение каната от статического воздействия груза Q .
|
|
|
Расчетное напряжение σ=N / F.
Пример 15.2.Невесомый вал диаметром d и длиною l с диском массой М, диаметром D и толщиною Δ равномерно вращается с угловой скорость 
и внезапно тормозится на левом торце, рис.15.5. Найти расчетное напряжение.
Решение. Так как колебания вызваны угловой скоростью , а не углом закручивания, то согласно (15.12) получаем амплитудный угол закручивания, начальную фазу и частоту собственных крутильных колебаний:
, 
, 
,
где 
крутильная жесткость вала с полярным моментом инерции площади поперечного сечения 
, 
- момент инерции массы диска относительно оси вращения (см. (15.11))
Уравнение угловых колебательных перемещений диска 
.
Отсюда можно найти крутящий момент сил инерции диска
и напряжение
.
Пример 15.3.На невесомую консоль с сосредоточенной массой М0 со скоростью v налетает неупругая масса М, вызывая совместные колебания этих масс, рис.15.6. Найти расчетные изгибные напряжения. Геометрические характеристики консоли l, F, W заданы.
Решение. Удар неупругой массы М вызывает собственные колебания воздействием скорости v.
Согласно (15.7) - (15.9) получаем: 
, μ=0, где 
начальная скорость совместного движения масс, η – коэффициент передачи энергии.
|
|
|
Уравнение динамических перемещений масс
.
Отсюда можно найти силу инерции движущихся масс
.
Амплитудное значение силы инерции
(15.13) в защемлении создает изгибающий момент 
с напряжением 
, 
- квазистатический прогиб консоли от веса Q.
Пример 15.4.Двухопорная невесомая балкас сосредоточенной массой М посередине пролета отклонена от положения статического равновесия силой Р, которая затем внезапно снимается, рис. 15.7. Вычислить расчетный динамический изгибающий момент.
Решение. В этом примере колебания вызваны отклонением груза из положения статического равновесия, показанного на рис. 15.7 горизонтальной (недеформированной) осью, перемещением y0 =Δ1p.. Так как v0=0, то согласно (15.7) - (15.9) получаем μ=∞ и уравнение движения массы принимает вид 
. Сила инерции колеблющейся массы
.
Единичные перемещения вычисляем по правилу Верещагина перемножением эпюр, показанных на рис. 15.7:
,
.
Амплитудное значение силы инерции
.
По силе находится расчетный изгибающий момент
0,305Pl.
Обращаем внимание на то, что динамическое воздействие на балку не зависит от массы М, но масса влияет на частоту колебаний.
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 465; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!