Вынужденные колебания при гармонических нагрузках
В случае гармонических нагрузок 
, т.е. нагрузки, изменяющейся по закону синуса (или косинуса) нужно вычислять интеграл (15.25). Но этого можно избежать следующим путем.
Нужно найти решение уравнения (15.1)
,
которое приводит к неоднородному дифференциальному уравнению
, (15.32)
где обозначено 
.
Так как 
представляет статическое перемещение массы М от амплитудного воздействия возмущающей нагрузки, а 
, то уравнение (15.32) представим в виде
. (15.33)
Частное решение этого уравнения ищем в виде 
и подставим в дифференциальное уравнение
.
Отсюда находим:
, 
, 
.
Обозначив 
(логарифмический декремент затухания) и 
(период собственных незатухающих колебаний), получим амплитуду колебаний
.
Так находим частное решение неоднородного уравнения (15.33)
.
Обозначим:
, (15.34)
откуда 
, 
,
. (15.35)
При таких обозначениях уравнение движения массы примет следующий вид
, (15.36)
где ν – коэффициент нарастания колебаний, а ρ – начальная фаза.
В случае сосредоточенной возмущающей силы 
, подставляя в (15.36) значения перемещений 
и 
, получим амплитудное перемещение массы
, (15.37)
где k д – динамический коэффициент при вынужденных колебаниях от гармонической нагрузки.
Заметим, что до резонанса, когда θ<ω, т.е. δ<1, сдвиг фазы вынужденных колебаний (15.34) отрицательный, т.е. отставание движение груза происходит против направления возмущающей нагрузки. При резонансе, когда δ=1 и 
, получим 
, т.е. коэффициент нарастания колебаний не бесконечно большой, как это следует из приближенного значения ν, пренебрегая затуханием колебаний
. (15.38)
Однако, вдали от резонанса при 0,7 > δ > 1,3 можно пользоваться формулой (15.38). При δ>1 динамический коэффициент уменьшается и при δ, устремляющемся к бесконечности, коэффициент нарастания колебаний ν падает до нуля, т.е. динамический эффект при таких высоких частотах возмущения проявляться не будет.
Без учета сопротивления движению уравнение перемещения массы значительно упрощается. В этом случае в дифференциальное уравнение (15.21) 
нужно подставить частное решение 
, в результате чего получим 
, откуда найдем амплитуду
.
Тогда частное решение будет иметь вид
. (15.39)
Пример 15.6.Невесомая балка с сосредоточенной массой М испытывает воздействие гармонической возмущающей силы с заданным амплитудным значением Р и частотой возмущения θ, рис. 15.9.
Найти расчетный изгибающий момент
Грузовой коэффициент 
, т.е. квазистатическое перемещение в точке приложения массы от амплитудного значения возмущающей силы можно вычислить методом начальных параметров из уравнения изогнутой оси балки
.
Дифференцированием получаем уравнение углов поворота
.
Из условий защемления консоли, 
, находим начальные параметры: 
, 
.
Отсюда при a=0 получаем перемещение от единичной силы 
. Частота собственных колебаний 
.
Коэффициент нарастания колебаний 
.
По формуле 15.39 получаем динамическое перемещение массы в установившемся режиме колебаний
.
Сила инерции колеблющейся массы
.
Амплитудное значение изгибающего момента в защемлении
.
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 273; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!