Метод сечений. Внутренние силы
Для изучения внутренних явлений в теле используется метод сечений.
Рис. 13
Все тело находится в равновесии. После мысленного рассечения и отбрасывания правой части, её действие должно быть заменено системой сил (рис. 13) в сечении, сохраняющих равновесие левой части. Такие же силы, но противоположного направления, действуют на правую часть.
Для удобства приводим все силы, действующие в сечении, к центру тяжести; в результате этого получается главный вектор сил и главный вектор моментов (рис.14).
Рис. 14
Разложим главные вектора по осям в правой системе координат: Q (Qx, Qy, Qz);
M (Mx, My, Mz) (рис. 15).
Рис. 15
Проекции имеют определенные названия: Qx, Qy – поперечные силы; Qz – продольная сила; Mx, My – изгибающие моменты; Mz – крутящий момент.
Сила считается положительной, если ее направление совпадает с осью, момент считается положительным, если он создает вращение против часовой стрелки (смотреть необходимо с конца соответствующей оси). Эти шесть проекций называют интегральными характеристиками напряжений.
Всё тело до рассечения находилось в равновесии. Так как силы, действующие в сечении, заменяют действие отброшенной части, то и оставшаяся часть должна находится в равновесии, следовательно, к ней применимы уравнения статики.
SХ=0,
Р1х + Р2х + …+ Qх = 0,
|
|
Qх = - (Р1х + Р2х + …).
Проекция главного вектора внутренних сил на ось Х равна сумме проекций на эту ось всех внешних сил, действующих на левую часть, взятых с противоположными знаками. Аналогично получаем выражения для остальных проекций главного вектора внутренних сил и главного вектора момента внутренних сил.
Qу = - (Р1у + Р2у + …),
Qz = - (Р1z + Р2z + …),
Mх = - (Mхp1 + Mхp2 + …), (15)
Mу = - (Mуp1 + Mуp2 + …),
Mz = - (Mzp1 + Mzp2 + …).
Полученные уравнения дают лишь интегральные характеристики внутренних сил, но не дают информации о распределении сил по сечению.
Напряжение. Напряженное состояние в точке тела
Нагруженное тело мысленно рассечем плоскостью, и действие отброшенной части заменим действием внутренних сил. В сечении выберем произвольную точку, а в её окрестности элементарную площадку DF. Равнодействующую сил, действующих на площадку, обозначим DР (рис. 16).
Рис. 16
Среднее полное напряжение на заданной площадке будет равно:
Рср = .
Если площадку уменьшать, то в пределе она обратится в точку. Напряжение – это предел отношения внутренней силы к площади, на которой она действует, при условии, что площадь стремится к нулю. Р – полное напряжение [Н/м2].
|
|
P = limDF®0 . (16)
Вектор полного напряжения можно разложить на проекции (рис.17). Проекцию полного напряжения на нормаль к плоскости сечения будем называть нормальным напряжением (обозначаетсяs), а проекцию полного напряжения на плоскость сечения – касательным напряжением (обозначается t). Вектор нормали к сечению обозначим через n.
Р = (17)
Рис. 17
Направление касательного напряжения не однозначно, что создает неудобство при математической обработке, поэтому его раскладывают по координатным осям в плоскости сечения. Возьмем правую систему координат. Тело рассечем перпендикулярно оси Z (рис. 18).
=
Рис.18
Индекс нормального напряжения соответствует оси, перпендикулярной плоскости сечения. Индексы касательного напряжения проставляются следующим образом: первый индекс соответствует оси, перпендикулярной плоскости сечения, в котором лежит касательное напряжение, второй индекс соответствует оси, которой параллельно касательное напряжение.
|
|
Проводя другие плоскости, будем получать другие значения напряжений. Совокупность напряжений по всем плоскостям, проходящим через заданную точку, называется напряженным состоянием в точке тела.
В общем случае в точке твердого деформированного тела может возникнуть 9 напряжений: 3 нормальных и 6 касательных. Эти напряжения образуют тензор напряжений:
. (18)
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 236; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!