Содержание и порядок выполнения

1. Вычертить в масштабе заданную схему вала с указанием размеров и величин нагрузок.

2. Определить окружные и радиальные усилия, приняв соотношение между ними .

3. Построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях.

4. Построить эпюру суммарных изгибающих моментов.

5. Построить эпюру крутящих моментов.

6. Используя энергетическую теорию прочности, определить диаметры вала на отдельных участках и округлить их до стандартных размеров.

7. Вычертить эскиз.

Дано: МПа, Н∙м, .

м, м, м, м, м.

Решение:

1) Вычертим схему вала с указанием всех заданных численных величин, рис. 9 а.

2) Определим окружные и радиальные усилия:

Н;

Н.

Рассчитаем радиальные силы на колесах:

Н,

Н.

Изобразим данные силы см. рис. 9 а.

3) Определим вертикальные и горизонтальные составляющие реакций подшипников (сечения и ). Для этого рассмотрим уравнения равновесия в каждой плоскости.

Вертикальная плоскость (плоскость ):

Н.

Проверка:

Изобразим схему нагружения и построим эпюру изгибающих моментов в плоскости , рис. 9 б.

Горизонтальная плоскость (плоскость ):

Н.

Проверка:

Изобразим схему нагружения и построим эпюру изгибающих моментов в плоскости , рис. 9 б.

4) Рассчитаем суммарный изгибающий момент.

Суммарный изгибающий момент определяется по формуле:

Запишем данный момент по сечениям.

Сечение : Н·м,

Сечение : Н·м.

Построим эпюру суммарных изгибающих моментов (см. рис.9 б). В действительности эпюра носит нелинейный характер, но в нашем случае можно её упрощённо представлять в виде линейной.

5) Построим эпюру крутящих моментов. Для этого найдём крутящие моменты на каждом участке и изобразим схему нагружения (см. рис. 9 а).

На участке : Н·м.

Строим эпюру крутящих моментов (см. рис. 9 а).

6) Найдём значения расчётных моментов по четвертой (энергетической) гипотезе прочности. По этой гипотезе прочности расчётный момент высчитывается следующим образом:

Запишем данный момент по сечениям.

Сечение : Н·м,

Сечение : Н·м.

Произведём расчёт диаметра вала исходя из условий прочности.

Условие прочности имеет вид:

, где для круглого поперечного сечения .

Тогда диаметр вала можно определить так: .

На участке .

Н·м, м мм.

Округляем до стандартного значения мм.

На участке .

Н·м, м мм.

Округляем до стандартного значения мм.

На участке .

Н·м, м мм.

Округляем до стандартного значения мм.

7) Вычертим эскиз вала, рис. 9 б.

Рис. 9 а.

Рис. 9 б.

Задача 10

Для заданной сжатой стойки требуется:

1. Вычертить схему стойки.

2. Определить допускаемую нагрузку сжатой стойки, если требуемый коэффициент запаса устойчивости , материал стойки Ст.3 ( Па, Па).

3. Исследовать влияние изменения длины стойки на величину допускаемой нагрузки (определить допускаемую нагрузку при длинах стойки , , ).

Дано: м, сечение – двутавр №24.

Решение:

1) Вычертим схему стойки.

2) Сечением стержня является двутавр №24 с характеристиками: см², см.

Определим гибкость стержня , учитывая, что коэффициент приведения длины для стержня с одним защемлённым и одним шарнирно опёртым концами равен :

Для данной гибкости и данного материала (Ст.3) найдём путём интерполирования коэффициент (например, из таблицы в книге Писаренко стр. 529): .

Величина предельной гибкости, ограничивающая применение формулы Эйлера, определяется для Ст.3 следующим образом:

Т.к. гибкость рассматриваемого стержня меньше предельной , то для определения критической силы будем использовать формулу Ясинского:

МПа,

кН.

Учитывая запас устойчивости находим допускаемую нагрузку:

кН.

Для заданной допускаемой нагрузки определим напряжения в стержне:

Па.

Условие прочности при сжатии выполняется!

Проверим условие устойчивости:

, где – коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения.

Условие устойчивости выполняется с погрешностью 5%.

Исследуем влияние изменения длины стойки на величину допускаемой нагрузки.

Очевидно, что длина влияет на такой важнейший параметр как гибкость стойки. Определим допускаемые нагрузки при длинах стойки равных , и .

При длине стойки :

МПа,

кН.

Учитывая запас устойчивости находим допускаемую нагрузку:

кН.

Очевидно, что чем меньше длина стойки, тем выше допускаемые нагрузки с точки зрения устойчивости.

При длине стойки :

МПа,

кН.

Учитывая запас устойчивости находим допускаемую нагрузку:

кН.

При длине стойки :

Па.

кН.

Учитывая запас устойчивости находим допускаемую нагрузку:

кН.

Очевидно, что чем выше длина стойки, тем хуже её устойчивость.

Задача 11

На двутавровую балку, свободно лежащую на двух жёстких опорах, с высоты падает груз (см. рис.11, а). Требуется:

1. Найти наибольшее нормальное напряжение в балке.

2. Решить аналогичную задачу при условии, что правая опора заменена пружиной, податливость которой равна .

3. Сравнить полученные результаты.

Дано: кН, профиль – двутавр №30а, см, м, м/кН.

Решение:

Напряжение при ударе определяется по формуле:

, где – динамический коэффициент при ударе, , – прогиб балки, лежащей на жёстких опорах, где приложена ударная нагрузка (при статическом действии силы).

При , .

Для определения необходимо вычислить . Это можно сделать методом начальных параметров. Составим уравнения изгибающих моментов от статического действия силы по участкам балки.

Определим реакции опор:

, кН.

Построим эпюру моментов.

Воспользуемся методом сечений. За начало отсчёта примем сечение .

На участке , м:

кН, кН, кН.

кН∙м, кН∙м, кН∙м.

На участке , м:

кН, кН, кН.

кН∙м,

кН∙м, кН∙м.

Запишем уравнение прогибов:

где – функция прогиба балки; – прогиб в начале координат; – координаты точек приложения сосредоточенных сил.

Приведём уравнения прогибов к конкретному виду:

В уравнении указаны, какие слагаемые, на каких участках используются.

Определим , , если известно, что в сечениях и прогибы отсутствуют (шарнирное опирание):

, откуда .

откуда .

В итоге уравнения прогибов примет вид:

Статический прогиб балки в сечении приложения силы будет равен:

Знак минус можно опустить, т.к. он указывает на то, что балка прогибается вниз.

Балка имеет двутавровый профиль с номером двутавра 30а: см⁴, см³, МПа.

м.

Т.к. , то .

МПа.

Следовательно, МПа.

Решим эту задачу при наличии на правой опоре пружины (см. рис. 11, б). Осадка пружины под действием реакции на правой опоре м.

Тогда прогиб балки в точке приложения силы будет: , где – перемещение балки как абсолютно жёсткого тела, определим его из подобия треугольников (см. рис. 11, б): м мм.