Содержание и порядок выполнения
1. Вычертить схему балки с указанием числовых данных.
2. Построить эпюры внутренних силовых факторов с указанием характерных координат.
3. Из условия прочности подобрать двутавровое сечение стальной балки.
4. Определить прогибы и углы поворота сечений на границах участков.
Дано: МПа, МПа,
м, м,
кН/м, кН.
Решение:
1) Вычертим схему балки с указанием всех заданных численных величин, рис. 7.
Составим уравнения поперечных сил и изгибающих моментов по участкам балки.
Выражения для внутренних усилий и получим с помощью метода сечений. Поперечная сила в произвольном сечении балки равна алгебраической сумме внешних сил, приложенных по одну сторону от сечения. При этом поперечная сила считается положительной, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена вверх, а справа – вниз, т.е. стремиться сдвинуть левую отсечённую часть балки относительно правой вверх. Изгибающий момент в сечении балки равен алгебраической сумме моментов относительно данного сечения всех внешних сил, приложенных к отсечённой части. Момент считается положительным, если сжатые волокна находятся в верхней части сечения балки.
Примем за начало отсчёта сечение . Будем вести отсчёт справа налево. При этом нужно правильно учитывать знаки моментов и сил, т.к. если слева направо эти величины растут, то справа налево они падают.
На участке , м:
кН, кН, кН.
|
|
кН∙м, кН∙м, кН∙м.
На участке , м:
кН, кН, кН.
кН∙м,
кН∙м, кН∙м.
2) Построение эпюр и производится по участкам на основе полученных уравнений. Положительные значения ординат эпюры откладываются выше оси, отрицательные – ниже. Характер эпюр, на каждом участке, определяется типом уравнения описывающем изменения величин и . Нужно заметить, что т.к. поперечная сила является производной от изгибающего момента, то в сечениях, где она равна нулю, эпюра моментов достигает своего экстремального значения (максимума или минимума).
На участке эпюра моментов имеет экстремум, т.к. эпюра сил пересекает ось. Найдем экстремальное значение момента: , откуда м, т.е. сечение , где момент достигает экстремума, расположен на расстоянии м от сечения . Значение момента:
кН∙м.
Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (см. рис. 7).
Из построенных эпюр видно, что кН и кН∙м.
3) Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе имеет вид
.
Наибольший по модулю момент достигается в опасном сечении и равен
кН∙м.
Определяем из условия прочности момент сопротивления сечения балки:
м3 см3.
Выбираем в качестве профиля сечения в виде двух двутавров №50 с суммарным моментом сопротивления см3 и суммарным моментом инерции см4. В этом случае жёсткость балки составит: МН∙м2.
|
|
4) Определим углы поворота и прогибы в сечениях , и . Для этого используем метод начальных параметров.
Для определения прогибов используем метод начальных параметров. Выберем начало координат в сечении , ось направим вверх, ось – влево (см. рис. 7).
Запишем уравнение прогибов и углов поворота:
,
,
где – функция прогиба балки; , – прогиб и угол поворота в начале координат; , – координаты точек приложения сосредоточенных моментов и сил; – координаты начала действия распределённых нагрузок.
Приведём уравнения прогибов и углов поворота к конкретному виду, характерному рассматриваемой балке:
,
.
В уравнениях указаны, какие слагаемые, на каких участках используются. Подставляя исходные данные, получаем
,
.
Определим , , если известно, что в сечении перемещение и угол поворота отсутствуют:
,
.
После преобразований получаем
кН∙м2,
кН∙м3.
В итоге уравнения прогибов и углов поворота примут вид:
,
.
Очевидно, что в сечении (заделка) отсутствуют прогибы и углы поворота.
Рассмотрим сечение при :
м мм,
|
|
рад.
Рассмотрим сечение при :
м мм,
рад.
Рис. 7.
Задача 8
Для заданной статически неопределимой рамы требуется:
1) установить степень статической неопределимости;
2) выбрать основную систему;
3) написать канонические уравнения (выражающие условия, что суммарное перемещение от внешних сил и всех лишних неизвестных по направлению каждого из лишних неизвестных равно нулю);
4) построить эпюры от единичных сил, от внешней нагрузки и вычислить при помощи способа Верещагина все перемещения, входящие в канонические уравнения;
5) найти величины лишних неизвестных, решив уравнения;
6) построить окончательные эпюры , , ;
7) проверить правильность построения окончательной эпюры , умножив ее на каждую из единичных эпюр.
Дано: кН, м, м.
Решение:
Вычертим схему рамы, рис. 8 а.
Рис. 8 а.
1)
Степень статической неопределимости системы равна 2, т.к. при пяти неизвестных связях плоская система позволяет написать только три уравнения равновесия.
2)
Существует несколько возможных основных систем, рис. 8 б.
Рис. 8 б.
Для расчётов выбираем 3-ю основную систему.
3)
Составим систему канонических уравнений метода сил:
4)
Составим эпюру расчетных моментов (в основной системе от внешней нагрузки), рис. 8 в.
|
|
Рис. 8 в.
Строим эпюры моментов от единичных сил, рис. 8 г, д.
Рис. 8 г.
Рис. 8 д.
Произведение эпюр по методу Верещагина производилось по формуле:
.
Здесь – параметры перемножаемых эпюр, изображённых ниже (если эпюра лежит выше оси, то параметр положителен, если ниже – отрицателен).
Произведём вывод этой формулы.
.
, , ;
, .
В итоге получаем
– формула получена!
При выпуклости параболической эпюры направленной вниз, площадь эпюры сменит знак и перед слагаемым будет знак минус.
Вычисляем коэффициенты системы канонических уравнений метода сил. Используем для этого метод перемножения эпюр Верещагина.
м3.
м3.
м3.
м3.
Найдём коэффициенты правой части канонической системы:
кН∙м3.
кН∙м3.
5)
Подставим полученные коэффициенты в систему канонических уравнений и решим её.
, откуда кН.
Тогда кН.
Знак «минус» означает, что направление действия силы противоположно указанному на схеме рис. 8 г.
6)
Построим окончательные эпюры , и , рис 8 е.
7)
Проверим правильность построения конечной эпюры .
Умножаем эпюру на каждую из единичных.
.
.
Итак, получены верные значения неизвестных реакций.
Рис. 8 е.
Задача 9
Определить из условия прочности необходимые размеры диаметров редукторного ступенчатого вала.
Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 241; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!