Примерный вариант контрольной работы № 6

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 5Следующая ⇒

По теме « Ряды»

1) Найти общий член, записать ряд с помощью сигма – символики и исследовать его на сходимость:

2) Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:

3) Определить интервал сходимости степенного ряда и исследовать его поведение на концах этого интервала:

4) Разложить функцию в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать интервал сходимости;

5) Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда:

(до членов порядка включительно).

Решение задачи № 1

Перед нами ряд с положительными членами. Найдем формулу его общего члена , Заметим, что числа , стоящие в числителях членов нашего ряда, образуют арифметическую прогрессию с первым членом и разностью

Напомним, что числовая последовательность , каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом , называется арифметической прогрессией. Число – разность прогрессии.

Общий член арифметической прогрессии определяется по формуле , где

В нашем случае

Числа стоящие в знаменателях членов нашего ряда, образуют геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем

Числовая последовательность , каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число , называется геометрической прогрессией. Число – знаменатель прогрессии.

Общий член геометрической прогрессии определяется по формуле где Считаем, что

В нашей задаче

Таким образом, общий член ряда можно записать в виде

где

Сигма – символика. Мы будем пользоваться сокращенным обозначением для сумм, содержащим букву (греческая прописная буква «сигма»). Пусть задано правило, сопоставляющее каждому целому числу , взятому из некоторого набора целых чисел число . Условимся, что

обозначает сумму

Переменная здесь «немая».

Сигма – символика используется и для бесконечных числовых рядов

В нашей задаче

Приступим к исследованию данного ряда на сходимость. Воспользуемся сначала необходимым признаком сходимости ряда.

Теорема. Если ряд сходится, то

Найдем

Здесь при раскрытии неопределенности применено правило Лопиталя.

Необходимый признак выполнен, но о сходимости ряда ничего сказать нельзя.

Применим теперь к данному ряду достаточный признак – признак частных Даламбера.

Теорема. Пусть все члены ряда положительны.

Если то ряд сходится.

Если же то ряд расходится.

Так как общий член ряда то для нахождения заменим на В результате получим

Составим отношение члена ряда к

и найдем предел

Следовательно, на основании признака Даламбера рассматриваемый ряд сходится.

Замечание. Иногда проверить выполнение необходимого признака сходимости трудно, поэтому следует сразу попытаться применить один из достаточных признаков сходимости ряда.

Ответ. Ряд сходится.

Решение задачи № 2

Данный ряд

(1)

является знакочередующимся рядом, т.е. рядом следующего вида

где все члены последовательности положительны.

Исследуем ряд (1) на абсолютную сходимость. Для этого составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда

(2)

Получили ряд с положительными членами где

Для исследования сходимости ряда (2) применим интегральный признак Коши.

Теорема. Пусть – непрерывная неотрицательная убывающая функция, определенная при

Если несобственный интеграл

сходится, то сходится и ряд

Если интеграл расходится, то ряд расходится.

В нашем случае При эта функция удовлетворяет всем условиям интегрального признака: она принимает положительные значения, непрерывная, убывающая и при

Рассмотрим несобственный интеграл

Интеграл расходится, значит и ряд (2) расходится. Следовательно, исходный ряд (1) не имеет абсолютной сходимости.

Исследуем теперь ряд (1) на условную сходимость, используя признак Лейбница.

Теорема. Пусть и тогда ряд

сходится.

Очевидно, что условия теоремы для ряда (1) выполняются:

следовательно, ряд сходится. Так как ряд (2), составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, расходится, то знакочередующийся ряд (1) сходится условно или неабсолютно.

Ответ. Ряд сходится условно.

Решение задачи № 3

В этой задаче рассматривается степенной ряд, т.е. бесконечный ряд вида

(1)

где фиксированные числа, а пробегает некоторый интервал. Точнее, ряд (1) называется степенным рядом с центром или рядом по степеням

Центр сходимости степенного ряда задачи 3 находится в точке так как

Исследование сходимости степенного ряда основано на использовании следующей теоремы, которая является следствием теоремы Абеля.

Теорема. Пусть дан степенной ряд тогда существует такое число (которое может также принимать значение ), что ряд абсолютно сходится при и расходится при При и ряд может либо сходиться, либо расходиться.

Число называется радиусом сходимости рассматриваемого ряда, а интервал его интервалом сходимости (в предположении, конечно, что ). Интервал сходимости можно представить в виде

Если закрепить конкретное значение , то степенной ряд (1) превращается в бесконечный числовой ряд, который может либо сходиться, либо расходиться.

Для определения интервала сходимости степенного ряда воспользуемся признаком Даламбера, применив его к ряду из абсолютных величин членов исходного ряда

(2)

Так как то и

Напоминаем, что мы закрепили конкретное значение .

Найдем предел

В соответствии с признаком Даламбера (см. решение задачи 1) ряд (2) сходится, а исходный ряд сходится абсолютно, если значения переменной удовлетворяют неравенству

или

Отсюда видно, что радиус сходимости степенного ряда центр мы определили ранее.

Интервал сходимости степенного ряда представим в следующем виде

или

Остается определить поведение степенного ряда на концах интервала сходимости и

При получаем знакочередующийся числовой ряд

(3)

При получаем числовой ряд с положительными членами

(4)

Начинать исследование на сходимость нужно с ряда (4), так как он составлен из абсолютных величин членов ряда (3). Если ряд (4) сходится, то решение на этом практически заканчивается.

Заметим, что не следует повторно применять признак Даламбера при исследовании на сходимость ряда (4), так как концевые точки и интервала сходимости являются решением уравнения

В этом случае признак Даламбера не работает.

Применим к исследованию ряда (4) интегральный признак Коши (см. решение задачи 2).

Тогда непрерывная положительная убывающая функция, определенная при

Поскольку интеграл

расходится, то расходится и ряд (4).

Следовательно, ряд (3) не имеет абсолютной сходимости. Исследуем его на условную сходимость с помощью признака Лейбница.

Так как

то условия признака Лейбница выполнены, и значит, знакочередующийся ряд (3) сходится условно (или неабсолютно).

Ответ. Степенной ряд сходится абсолютно на интервале , при ряд сходится условно (или неабсолютно), на интервалах и ряд расходится.

Решение задачи № 4

В этой задаче требуется разложить данную функцию в степенной ряд и указать интервал, на котором это разложение справедливо.

Напомним, что если функция в некоторой окрестности точки имеет производные любого порядка, то для нее можно построить степенной ряд

(1)

который называется рядом Тейлора в точке .

В формуле (1) использованы следующие обозначения:

· производная нулевого порядка совпадает с самой функцией;

· функция факториал определяется следующим образом:

Частичные суммы ряда Тейлора называют многочленами Тейлора функции в точке .

При ряд Тейлора называют рядом Маклорена.

Функция , определенная в некоторой окрестности точки , называется аналитической в точке , если ее можно представить в виде суммы сходящегося степенного ряда с центром

В этом случае говорят, что функция разлагается в ряд Тейлора по степеням

Функция , определенная вблизи и имеющая производные всех порядков, не обязана быть аналитической в этой точке. Может случиться, что ее ряд Тейлора имеет нулевой радиус сходимости или ненулевой радиус сходимости, но сумма его не равна .

При разложении в ряд многих элементарных функций можно использовать известные разложения функций в ряд Маклорена:

Для того, чтобы разложить функцию в ряд по степеням мы воспользуемся биномиальным разложением (результат принадлежит Ньютону)

Здесь любое действительное число и биномиальные коэффициенты определяются следующими формулами

Так как наша функция может быть представлена в виде

то мы воспользуемся биномиальным разложением с показателем Вычислим биномиальные коэффициенты при этом значении

В результате получим разложение

Заменяя здесь на , получим требуемое разложение функции

Это разложение справедливо, когда

или

Ответ.

Решение задачи № 5

Эту задачу можно решать разными способами. Мы рассмотрим только один из них. По условию задачи предполагается, что решение дифференциального уравнения можно разложить в степенной ряд с центром в В силу теоремы единственности разложения функции в степенной ряд, этот ряд есть ряд Тейлора.

Так как требуется написать разложение в ряд до членов порядка включительно, то это означает, что в качестве приближенного решения задачи Коши берем многочлен Тейлора четвертой степени функции в точке