Краткие теоретические сведения
Линеаризация – процесс приведения криволинейных статических характеристик звеньев, используемых в процессе управления к прямолинейным характеристикам. Самым распространенным методом, используемым в процессе линеаризации, является метод малых отклонений, который допускает, что отклонения входных и выходных параметров системы в процессе управления от их установившихся значений достаточно малы. В основе метода линеаризации лежит разложение в ряд Тейлора, которое позволяет разложить нелинейную функцию нескольких переменных по степеням малых отклонений этих переменных в окрестностях значений, соответствующих заданному установившемуся режиму.
Пример решения.
Линеаризация нелинейного дифференциального уравнения (ДУ).
3xy - 4x2 + 1,5 y = 5 + y
Данное ДУ является нелинейным из-за наличия произведений переменных х и у. Линеаризируем его в окрестности точки с координатами х0 = 1, = 0, = 0. Для определения недостающего начального условия у0 подставим данные значения в ДУ:
3у0 - 4 + 0 = 0 + у0 откуда у0 = 2.
Введем в рассмотрение функцию
F = 3xy - 4x2 + 1,5x’y - 5y’ - y
и определим все ее производные при заданных начальных условиях:
= (3у - 8х = 3*2 - 8*1 = -2,
= (3х + 1,5x’ - 1 = 3*1 + 1,5*0 - 1 = 2,
= (1,5у = 1,5*2 = 3,
= -5.
Теперь, используя полученные коэффициенты, можно записать окончательное линейное ДУ:
-5.Dy’ + 2.Dy + 3.Dх’ - 2.Dх = 0.
|
|
Линеаризация ДУ, заданного в явном виде относительно у, т.е. y = F(x) производится по формуле
,
то есть, в данном случае нет необходимости искать производные по у.
Задание : (решение задач)
Линеаризовать уравнения статики и динамики в окрестностях номинальных режимов.
Варианты заданий:
Вариант № 1
1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима
xн = 2
y = 2.х + x3
2. Линеаризовать уравнение динамики в окрестности номинального режима
xн = 2 и определить передаточную функцию звена
y(2) + y . y(1) + y3 = 2 . x2.
Вариант № 2
1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима
xн = 1
y = 2.х2 + x5
2. Линеаризовать уравнение динамики в окрестности номинального режима и определить передаточную функцию звена
y(2) + y . y(1) = 2 . u . f + f,
uн = fн = 0, yн = 2.
Вариант № 3
1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима
y = 2 . u2 . f + f3 + 2 . u2
uн = 0,5; fн = 1
|
|
2. Линеаризовать уравнение динамики в окрестности номинального режима и определить передаточную функцию звена
y(2) + 2 . y . y(1) + y = 2 . u(1) . f + u3,
uн = 1, fн = 2.
Вариант № 4
1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима
y = u . f + u2
uн = 1; fн = 2.
2. Линеаризовать уравнение динамики в окрестности номинального режима и определить передаточную функцию звена
y(2) + y . y(1) + y3 = u(1) . f + u . f + u2,
uн = 1, fн = 2.
Вариант № 5
1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима
2 . u . - f = 0
uн = 2; fн = 1.
2. Линеаризовать уравнение динамики в окрестности номинального режима и определить передаточную функцию звена
y(1) + y + y . u - 2 . u . f + u(1) = 0,
uн = 0,5, fн = 1.
Вариант № 6
1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима xн = 1
y2 + y.х2 - 2. x = 0.
2. Линеаризовать уравнение динамики в окрестности номинального режима и определить передаточную функцию звена
|
|
y(1) + y = 2 . u . f + u (1),
uн = 0,5; fн = 2.
Вариант № 7
1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима
xн = 2
y2 - 2.u.x - x3 - 4 = 0.
2. Линеаризовать уравнение динамики в окрестности номинального режима и определить передаточную функцию звена
y(2) + y . y(1) + y2 = 2 . x.
Вариант № 8
1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима
xн = 1
y = 4.х2 + x3.
2. Линеаризовать уравнение динамики в окрестности номинального режима и определить передаточную функцию звена
y(1) . (1 + y) + y = u . u(1) + f . f(1),
uн = 2; fн = 1.
Вариант № 9
1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима
xн = 2
y = 2.х2 + x.
2. Линеаризовать уравнение динамики в окрестности номинального режима и определить передаточную функцию звена
y(1) . (2 + y) + y = u2 . u(1) + f,
uн = 0,5; fн = 1.
|
|
Вариант № 10
1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима
xн = 2
y = 2.х.(1 + x2).
2. Линеаризовать уравнение динамики в окрестности номинального режима и определить передаточную функцию звена
y(2) + y . y(1) + y = 2 . x3 + x . x(1).
Вариант № 11
1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима
xн = 3
y = 2.х.(3 + x)
2. Линеаризовать уравнение динамики в окрестности номинального режима и определить передаточную функцию звена
y . y(1) + y = 2 . x3 + x . x(1).
Вариант № 12
1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима
u . - 2f . y = 0
uн = 2; fн = 1.
2. Линеаризовать уравнение динамики в окрестности номинального режима и определить передаточную функцию звена
y(1) + y + u - u . f + u(1) = 0,
uн = 1; fн = 1.
Вариант № 13
1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима
xн = 1
y2 - y . x2 - 2 . x = 0.
2. Линеаризовать уравнение динамики в окрестности номинального режима и определить передаточную функцию звена
y(1) + y . y(1) = 2 . x - 8 . x3;
xн = 2; yн = 2.
Вариант № 14
1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима
2 . + u . f . y = 0
uн = -2; fн = 1.
2. Линеаризовать уравнение динамики в окрестности номинального режима и определить передаточную функцию звена
y(1) + y(1) . y2 + y = u . u(1) + f . f(1) ,
uн = 1; fн = 2.
Вариант № 15
1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима
xн = 2
y = 3.х2 + 2.x3.
2. Линеаризовать уравнение динамики в окрестности номинального режима и определить передаточную функцию звена
y(1) . (1 + 2.y) + y = u . u(1) +. f . f(1),
uн = 2; fн = 1.
Вариант № 16
1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима
xн = 1
y = 5.х2 + 3.x.
2. Линеаризовать уравнение динамики в окрестности номинального режима и определить передаточную функцию звена
y(1) . (2 + 3.y) + y = u2 . u(1) + 2.f,
uн = 1; fн = 1.
Вариант № 17
1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима
xн = 3
y = 2.х.(1 + x2).
2. Линеаризовать уравнение динамики в окрестности номинального режима и определить передаточную функцию звена
y(2) + 2.y . y(1) + y = x3 + 3.x . x(1).
Вариант № 18
1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима
xн = 1
y = 2.х.(10 + x).
2. Линеаризовать уравнение динамики в окрестности номинального режима и определить передаточную функцию звена
5.y . y(1) + y = 2 . x3 + 3.x . x(1).
Вариант № 19
1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима
u . - 5.f. y = 0
uн = 1; fн = 2.
2. Линеаризовать уравнение динамики в окрестности номинального режима и определить передаточную функцию звена
y(1) + y + u - 2.u . f + u(1) = 0,
uн = 0.5; fн = 1.
Вариант № 20
1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима
xн = 2
y2 - 4.y . x2 - x = 0.
2. Линеаризовать уравнение динамики в окрестности номинального режима и определить передаточную функцию звена
y(1) + y . y(1) = 3 . x - 5 . x3;
xн = 2; yн = 1.
Вариант № 21
1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима
2 . + 2. u . f . y = 0
uн = 2; fн = 2.
2. Линеаризовать уравнение динамики в окрестности номинального режима и определить передаточную функцию звена
y(1) + y(1) . y2 + y = u . u(1) + f . f(1) ,
uн = 1; fн = 1.
Вариант № 22
1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима
4 . + u . f . y = 0
uн = -2; fн = -1.
2. Линеаризовать уравнение динамики в окрестности номинального режима и определить передаточную функцию звена
y(1) + y(1) . y2 + y = u . u(1) + f . f(1) ,
uн = 1; fн = 1.
Вариант № 23
1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима
xн = 1
y = 2.х2 + 2.x3.
2. Линеаризовать уравнение динамики в окрестности номинального режима и определить передаточную функцию звена
y(1) . (1 + 2.y) + y = u . u(1) +. f . f(1),
uн = 2; fн = 2.
Вариант № 24
1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима
xн = 3
y = 2.х2 + 3.x.
2. Линеаризовать уравнение динамики в окрестности номинального режима и определить передаточную функцию звена
y(1) . (2 + 3.y) + y = u2 . u(1) + 2.f,
uн = 1; fн = 2.
1.5. Контрольные вопросы:
1. Общая форма записи дифференциальных уравнений САУ.
2. Дать описание уравнений статики.
3. Определение и методы линеаризации уравнений.
4. Графическое представление линеаризации уравнений.
5. Стандартная форма записи линейных дифференциальных уравнений.
6. Дать описание уравнений состояния.
2. Практическое занятие № 2: «Преобразование Лапласа. Передаточная функция. Расположение корней уравнения на комплексной плоскости.» – 2 часа
2.1. Цель занятия:
Получение практических навыков использования преобразования Лапласа, определения передаточных функций звеньев САУ, нахождения комплексных корней уравнения состояния.
Дата добавления: 2018-09-23; просмотров: 1044; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!