Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Начнем с задач, решение которых приводит к необходимости ввести понятие определенного интеграла.
Задача о вычислении массы неоднородного стержня
Пусть неоднородный стержень конечной длины занимает положение отрезка [a, b] оси x и линейная плотность распределения масс вдоль стержня есть непрерывная функция r(x). (Под линейной плотностью r(x) понимают 
, где Dx – длина отрезка, содержащего точку x, Dm – масса этого отрезка.) Плотность однородного стержня постоянна и его масса равна произведению плотности на длину стержня. В случае неоднородного стержня сначала будем искать приближенное значение его массы. Для этого:
1) разобьем отрезок [a, b] на n частей точками
;
2) при достаточно мелком разбиении можно считать, что на каждом отрезке 
плотность почти постоянна и приближенно равна ее значению в некоторой точке 
этого отрезка: 
для любых точек 
;
3) масса 
части стержня 
будет тогда приближенно равна 
, где 
, а масса m всего стержня будет приближенно равна 
:
;
4) значение массы стержня будет тем точнее, чем мельче будет разбиение, то есть чем меньше будет 
и чем удачнее будут выбраны точки 
на каждой части . Поэтому для получения точного значения массы стержня естественно перейти к пределу при стремлении к 0 
:
.
Задача о вычислении работы переменной силы
Пусть материальная точка единичной массы перемещается из точки a в точку b отрезка [a, b] оси x под воздействием силы 
, направленной вдоль оси x и имеющей переменную величину 
. Требуется найти работу A этой силы. В случае постоянной силы работа равна произведению величины силы на длину пути перемещения. В случае переменной силы найдем сначала приближенное значение работы A. Для этого:
|
|
|
1) разобьем отрезок [a, b] произвольно на n частей точками 
;
2) при достаточно мелком разбиении можно считать, что на каждом отрезке 
величина силы f(x) почти постоянна и приближенно равна ее значению в некоторой точке : 
для любых точек 
;
3) работа 
силы на каждом отрезке 
тогда будет приближенно равна 
, где 
, а работа силы по перемещению массы вдоль всего отрезка [a, b] будет приближенно равна 
:
;
4) значение работы A будет тем точнее, чем мельче будет разбиение, то есть чем меньше будет и чем удачнее будут выбраны точки на каждом отрезке 
. Поэтому для получения точного значения работы переменной силы на всем отрезке [a, b] естественно перейти к пределу при 
:
.
Как видим, алгоритм нахождения искомой величины в этих задачах общий. Можно привести немало других конкретных задач, при решении которых используется тот же алгоритм. Это привело к необходимости ввести новое понятие – понятие определенного интеграла от функции одной переменной.
|
|
|
Дата добавления: 2018-09-23; просмотров: 206; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!