Основные свойства неопределенного интеграла
1. Так как операция интегрирования есть операция, обратная дифференцированию, то справедливы равенства:
; ;
; .
Справедливость следующих равенств легко установить дифференцированием их левых и правых частей.
2. .
3. ,
где k – постоянный множитель, отличный от нуля.
Всякая формула дифференцирования, прочитанная справа налево, порождает формулу интегрирования.
Таблица основных интегралов
Каждое из приведенных ниже равенств рассматривается в области, где подынтегральная функция и ее первообразная непрерывны. В правых частях этих равенств C – произвольная постоянная.
Из таблиц производных следуют формулы:
I. .
II. , .
III. .
IV. .
V. .
VI. .
VII. .
VIII. .
IX. .
X. .
Следующие две формулы нетрудно проверить дифференцированием.
XI. .
XII. , .
Рассмотренные свойства и таблица интегралов позволяют уже находить интегралы от простейших функций.
Пример. Найти .
Решение. Воспользуемся свойствами 2 и 3 и табличным интегралом (II). Получим
.
Заметим, что результат дифференцирования элементарных функций является снова элемен-тарной функцией, тогда как операция интегрирования элементарных функций может привести к новым функциям, которые не могут быть представлены в виде суперпозиций элементарных функций. Например, доказано, что следующие интегралы существуют, но не выражаются через элементарные функции:
– интеграл Пуассона,
|
|
– интегралы Френеля,
– интегральный логарифм,
– интегральный синус,
– интегральный косинус.
Перейдем к рассмотрению основных методов интегрирования.
Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле
Замена переменной
Пусть функция монотонна и имеет непрерывную производную на некотором проме-жутке изменения переменной t, функция f(x) непрерывна на интервале, принадлежащем области значений функции , так что определена сложная функция . Тогда справедливо равенство
, (1.2)
называемое формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
Действительно, дифференцируя левую часть этого равенства по t по правилу дифферен-цирования сложной функции, получим
.
Отсюда следует, что левая часть равенства (1.2) является неопределенным интегралом по переменной t от функции , то есть совпадает с правой частью этого равенства. Формула (1.2) может быть записана и так:
,
где функция обратная функции .
Замена переменной в неопределенном интеграле во многих случаях позволяет свести его к более простому или даже табличному интегралу по переменной t, найти его и затем вернуться к переменной x.
|
|
Примеры
а. Линейная замена переменной
Пример 1. Найти ( ).
Решение. Введем переменную . Тогда , откуда . Используя формулу замены переменной (1.2) и табличный интеграл (VI), получаем
.
Пример 2. Найти .
Решение. Положим . Тогда . Используя формулу замены переменных (1.2) и табличный интеграл (X), получим
,
так что мы можем записать табличный интеграл (X) в более общем виде:
X. .
Аналогично получается табличный интеграл (IX):
IX. .
б. Замена переменной, приводящая к логарифму
Если надо проинтегрировать дробь , производная знаменателя которой лишь постоянным множителем отличается от числителя P(x), то замена Q(x) = t приведет к табличному интегралу (III).
Пример 3. Найти .
Решение. Имеем . Положим . Тогда и .
в. Степенная замена
Пример 4. Вычислить .
Решение. Положим . Тогда , откуда . По формуле замены переменной (1.2), используя табличный интеграл (IV), получим
.
Интегрирование по частям
Пусть и – непрерывно дифференцируемые функции на некотором промежутке. Тогда дифференциал их произведения равен . Интегрируя это равенство по переменной x, получим , откуда
. (1.3)
Это равенство называется формулой интегрирования по частям. Она позволяет нахождение одного интеграла свести к нахождению более простого интеграла. Рассмотрим два класса функций f(x), которые целесообразно интегрировать по частям, и укажем, что в этих случаях при представлении подынтегрального выражения f(x)dx в виде произведения udv следует брать в качестве u, а что в качестве dv. Ниже через P(x) обозначен многочлен.
|
|
I. . Следует полагать .
. Следует полагать .
. Следует полагать .
II. . Следует полагать .
. Следует полагать .
. Следует полагать .
Пример 1. Найти .
Решение. Положим u = x, . Тогда , и по формуле интегрирования по частям получим
.
Пример 2. Найти .
Решение. Положим , .
Тогда и по формуле интегрирования по частям будем иметь
.
Дата добавления: 2018-09-23; просмотров: 189; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!