Математическая модель транспортной задачи

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 7Следующая ⇒

Простейшими транспортными задачами являются задачи о перевозках некоторого однородного груза из пунктов отправления (от поставщиков) в пункты назначения (к потребителям) при обеспечении минимальных затрат на перевозки.

Обычно начальные условия таких задач записывают в таблицу. Например, для k поставщиков и l потребителей такая задача имеет следующий вид:

Здесь показатели a_ij означают затраты на перевозку единицы груза от i-го поставщика (i=1,2,…,k) к j-тому потребителю (j=1,2,…,l), M_i - мощность i-того поставщика в планируемый период, N_j - спрос j-того потребителя на этот же период. Обозначим через x_ij поставку (количество груза), которая планируется к перевозке от i-того поставщика к j-тому потребителю. Математически задача сводится к нахождению минимума целевой функции, выражающей суммарные затраты на перевозку груза, т.е. функции

при ограничениях

(1)

Если к этим ограничениям добавить еще одно:

,(2)

т.е. суммарная мощность поставщиков равна суммарному спросу потребителей, то соответствующая модель задачи называется закрытой.

Задачам, в которых ограничение (2) отсутствует, т.е.

первоначально соответствует открытая модель.

Отметим некоторые особенности экономико-математической модели транспортной задачи.

Система ограничений (1) сразу имеет вид уравнений, поэтому отпадает необходимость вводить добавочные переменные.

Матрица коэффициентов при переменных в системе (1) состоит только из единиц и нулей.

Система ограничений (1) включает k уравнений, связывающих поставки i-того поставщика с мощностью M_i (i=1,2,…,k) этого поставщика, и l уравнений, связывающих поставки j-тому потребителю со спросом N_j (j=1,2,…,l) этого потребителя. Заметим, что число k равно числу строк исходной таблицы, а число l - числу столбцов.

Число переменных x_ij, входящих в целевую функцию и в систему уравнений (1), равно произведению kl, т.е. числу клеток таблицы.

Таким образом, система ограничений (1) есть система из k+l уравнений с kl переменными.

Любое решение транспортной задачи (x₁₁, x₁₂,…, x_kl) называется распределением поставок. Так как поставки не могут быть отрицательными, то речь идет только о допустимых решениях.

Оптимальному решению транспортной задачи соответствует оптимальное распределение поставок, при котором целевая функция достигает своего минимума.

В ходе решения задачи и нужно получить это оптимальное распределение поставок, которому соответствует какое-то допустимое базисное решение системы ограничений (1). [4]

Необходимое и достаточное условия разрешимости транспортной задачи

Ограничение (1) и условия неотрицательности переменных, исключающие обратные перевозки x_ij>0; i= 1, 2, …, k; j= 1, 2,., l.

Эти условия образуют систему ограничений. Любой план, компоненты которого удовлетворяют этой системе, будет допустимым.

Как видим, система ограничений задана в основном (k + l) уравнениями. Установим условия, при которых эта система будет совместной, т.е. будет иметь решения.

Сложим элементы x_ij матрицы перевозок по строкам, каждая строка в сумме дает M_i, и в итоге получим . Сложим те же элементы по столбцам, каждый столбец дает N_j, и в сумме получим . Но от перестановки слагаемых сумма не меняется, поэтому для любого допустимого плана обязательно будет выполняться условие

Равенство является необходимым условием совместности ограничений задачи.

Докажем и достаточность этого условия: если запасы равны потребностям, то всегда имеется допустимый план.

Действительно, пусть . Рассмотрим такие числа:

Убедимся, что эти числа образуют допустимый план. Для этого достаточно проверить, что они удовлетворяют всем ограничениям задачи.

Просуммируем эти числа по индексу i:

Но величины N_j, от индекса i не зависят и их можно вынести за знак суммы. В результате

или

Следовательно, взятые числа удовлетворяют группе уравнений (1).

Просуммируем эти числа по индексу j:

Вынося постоянные M_i и за знак суммы и имея в виду, что , получаем

или в развернутом виде

Как видим, наши числа удовлетворяют группе уравнений (1). Эти числа неотрицательны, т.е. система ограничений полностью удовлетворяется. Таким образом, допустимый план существует, что и требовалось доказать.

Равенство запасов потребностям есть необходимое и достаточное условие совместности и, следовательно, разрешимости транспортной задачи. [5]

Дата добавления: 2018-09-22; просмотров: 273; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!