Главная обратная связь по состояниям. Метод модального управления
Пусть система S описывается уравнением:
.
Требуется найти такое управление u(t), что оно переводит систему из некоторой начальной точки в начало координат 0n, то есть .
Будем искать управление u(t) в виде
(1)
– это главная обратная связь по состояниям. Подставим эту функцию в исходное уравнение. Получим
.
Для оценки устойчивости этой линейной системы воспользуемся первым методом Ляпунова. Согласно первому методу Ляпунова, у матрицы все собственные числа должны быть отрицательны. Зададим некоторые собственные числа l1,…,ln<0 для этой матрицы и из ее характеристического полинома найдем числа k1,…,kn, составляющие вектор . Мы сможем найти вектор в случае, если система S полностью управляема.
Таким образом, введя модальное управление вида (1), можно обеспечить любое заданное распределение корней характеристического уравнения матрицы .
Методику нахождения модального управления лучше всего пояснить на примере.
Пример: требуется найти управление, переводящее систему
в состояние .
Управление будем искать в виде
;
Подставим это управление в исходное уравнение. Получим
.
.
Найдем характеристический полином этой матрицы:
. (2)
Зададим корни характеристического уравнения такими: . Теперь, если мы подставим их в характеристическое уравнение, мы получим одно уравнение с двумя неизвестными.
Поступим иначе: составим характеристический полином, корнями которого будут и :
|
|
.
Однако полином (2) имеет те же самые корни, что и последний полином, следовательно, мы записали одно и то же, то есть
.
Два полинома равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях независимой переменной (в данном случае l). Получим систему уравнений:
Отсюда находим, что . Следовательно, искомое управление будет иметь вид:
.
Асимптотический наблюдатель Люенбергера
Рассмотрим систему
(1)
Если эта система полностью наблюдаема, то можно построить такое устройство, которое называется асимптотический наблюдатель Люенбергера, на выходе которого получим оценку вектора состояния:
, (2)
где – так называемая невязка между выходом и наблюдением; – полученная оценка состояния и выхода.
Назовем вектором ошибки разность между состоянием системы и его оценкой :
.
Вычтем из первого уравнения системы (1) первое уравнение системы (2). Получим
.
Если (A–LCT) – гурвицева матрица, то , и значит .
Матрица будет или не будет гурвицевой в зависимости от матрицы L. То есть, мы можем обеспечить любое заданное распределение корней характеристического уравнения матрицы , задавая матрицу L.
|
|
Пример: найти L для системы
для корней характеристического уравнения .
Решение: .
Составим характеристические полиномы:
Корни этих полиномов должны быть равны, поэтому приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях:
Отсюда получим, что .
Чтобы , необходимо, чтобы у гурвицевой матрицы главные диагональные миноры были положительными. Проверим это:
Значит, .
Список литературы
1. Математические основы теории автоматического регулирования, т. 1. Под ред. Б. К. Чемоданова. М., 1977
2. Справочное пособие по теории систем автоматического регулирования и управления. Под ред. Е. А. Санковского. Минск, 1973.
3. Воронов А. А. Введение в динамику сложных управляемых систем.
Дата добавления: 2018-09-22; просмотров: 225; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!