Задача об оптимальной стратегии замены оборудования
Известно, что оборудование со временем изнашивается, стареет физически и морально. В процессе эксплуатации падает производительность, и растут эксплуатационные расходы на текущий ремонт. Со временем возникает необходимость замены оборудования, так как его дальнейшая эксплуатация обходится дороже, чем замена. Отсюда задача о замене оборудования может быть сформулирована следующим образом.
Разработать оптимальную стратегию замены оборудования возраста 
лет в плановом периоде продолжительностью 
лет, если известны:
- стоимость продукции, производимой в течение года на оборудовании возраста 
лет ( 
);
- ежегодные расходы, связанные с эксплуатацией оборудования возраста лет ( );
- остаточная стоимость оборудования возраста лет;
- стоимость нового оборудования и расходы, связанные с установкой, наладкой и запуском.
В начале каждого года имеется две возможности – сохранить оборудование и получить прибыль 
или заменить его и получить прибыль 
. Прибыль от использования оборудования в последнем 
-м году планового периода запишется в следующем виде
(4.5)
а прибыль от использования оборудования в период с 
-го по -й год
(4.6)
где 
- прибыль от использования оборудования в период с 
-го по 
-й год.
В случае, если оба управления («сохранение» и «замена») приводят к одной и той же прибыли, то целесообразно выбрать управление «сохранение».
Пример 10
Найти оптимальную стратегию замены оборудования возраста 3 года на период продолжительностью 10 лет, если для каждого года планового периода известны стоимость продукции, производимой с использованием этого оборудования, и эксплутационные расходы (таблица 24). Известны также остаточная стоимость, не зависящая от возраста оборудования и составляющая 4 ден. ед., и стоимость нового оборудования, равная 18 ден. ед., не меняющаяся в плановом периоде.
Таблица 24
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|
| 31 | 30 | 28 | 28 | 27 | 26 | 26 | 25 | 24 | 24 | 23 |
|
| 8 | 9 | 9 | 10 | 10 | 10 | 11 | 12 | 14 | 16 | 18 |
Решение
I этап. Условная оптимизация.
1-й шаг. 
. Начнем процедуру условной оптимизации с последнего, десятого года планового периода. Для этого шага состояние системы 
=0, 1, 2, …, 9, 10. Функциональное уравнение (4.5) с учетом числовых данных примера принимает вид
.
Тогда
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Полученные результаты занесём в таблицу (первая строка таблицы 25).
2-й шаг. 
. Проанализируем девятый год планового периода. Для второго шага возможны состояния системы =0, 1, 2, …, 9, 10. Функциональное уравнение (4.6) с учетом числовых данных примера принимает вид
.
Тогда
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Полученные результаты занесём в таблицу (вторая строка таблицы 25).
Продолжая вычисления описанным способом, постепенно заполняем всю таблицу (см. таблица 25).
Таблица 25
|
|
| ||||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 23 | 21 | 19 | 18 | 17 | 16 | 15 | 13 | 10 | 9 | 9 |
| 44 | 40 | 37 | 35 | 33 | 31 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 |
| 63 | 58 | 54 | 51 | 49 | 49 | 49 | 49 | 49 | 49 | 49 |
| 81 | 75 | 70 | 67 | 67 | 67 | 67 | 67 | 67 | 67 | 67 |
| 98 | 91 | 86 | 85 | 84 | 84 | 84 | 84 | 84 | 84 | 84 |
| 114 | 107 | 104 | 102 | 101 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 |
| 130 | 125 | 121 | 119 | 117 | 116 | 116 | 116 | 116 | 116 | 116 |
| 148 | 142 | 138 | 135 | 134 | 134 | 134 | 134 | 134 | 134 | 134 |
| 165 | 159 | 154 | 152 | 151 | 151 | 151 | 151 | 151 | 151 | 151 |
| 182 | 175 | 171 | 169 | 168 | 168 | 168 | 168 | 168 | 168 | 168 |
II этап. Безусловная оптимизация.
В начале исследуемого десятилетнего периода возраст оборудования составляет 3 года. Находим в таблице на пересечении строки 
и столбца =3 значение максимальной прибыли 
=169. Найдем теперь оптимальную политику, обеспечивающую эту прибыль. Значение 169 записано слева от жирной черты в области «политик сохранения». Это означает, что в начале первого года принимается решение о сохранении оборудования. К началу второго года возраст оборудования 3+1=4 года. Расположенная на пересечении строки 
и столбца =4 клетка находится слева от жирной черты, следовательно, и второй год нужно работать на имеющемся оборудовании. К началу третьего года возраст оборудования 4+1=5 лет. Расположенная на пересечении строки 
и столбца =5 клетка находится справа от черты, в области «политик замены», следовательно, в начале третьего года следует заменить оборудование. К началу четвертого года возраст оборудования составит один год. Расположенная на пересечении строки 
и столбца =1 клетка находится слева от черты, следовательно, четвертый год следует работать на имеющемся оборудовании. Продолжая рассуждать таким образом, последовательно находим 
=104, 
=85, 
=67, 
=58, 
=37, 
=18.
Цепь решений безусловной оптимизации можно изобразить символически следующим образом.
.
Итак, на оборудовании возраста 3 года следует работать 2 года, затем произвести замену оборудования, на новом оборудовании работать 3-й, 4-й, 5-й и 6-й годы, после чего произвести замену оборудования и на следующем оборудовании работать 7-й, 8-й, 9-й и 10-й годы планового периода. При этом прибыль будет максимальной и составит 
=169 ден. ед.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Задание 1
Найти максимальное и минимальное значение функции 
на области, заданной системой ограничений.
0) 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
Задание 2
Предприятие связи объединенного типа за время планового периода Т часов должно выполнить план производства продукции двух видов Р1 и Р2. Плановый объем выпуска продукции Р1 составляет N 
ед., а продукции Р2 – N2 ед. Для производства продукции каждого вида может быть использовано оборудование группы А1 или А2.
Производительность оборудования этих групп различна и определяется величиной 
ед./ч., а стоимость 1 часа работы оборудования составляет 
руб./ч. 
, где i – индекс, отличающий вид оборудования, j – вид продукции. Требуется оформить оптимальный план работы групп оборудования, при котором будет выполнен план выпуска продукции с минимальной себестоимостью и в заданный срок.
Задачу необходимо решить симплекс-методом.
Исходные данные по вариантам заданий указаны в таблице 26.
Таблица 26
| № вар | Плановый период | Производительность оборудования
| Стоимость единицы времени работы оборудования
| Плановый объем продукции | |||||||
| Т | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| 0 | 10 | 4 | 6 | 8 | 4 | 2 | 5 | 6 | 1 | 48 | 36 |
| 1 | 12 | 4 | 5 | 9 | 4 | 2 | 2 | 4 | 3 | 45 | 50 |
| 2 | 8 | 3 | 5 | 6 | 4 | 5 | 3 | 2,3 | 3 | 18 | 60 |
| 3 | 9 | 4 | 3 | 4 | 8 | 3 | 2 | 3 | 2 | 32 | 40 |
| 4 | 12 | 6 | 8 | 9 | 7 | 5 | 2 | 3 | 4 | 54 | 56 |
| 5 | 9 | 7 | 5 | 6 | 8 | 3 | 4 | 3 | 5 | 42 | 60 |
| 6 | 10 | 3 | 5 | 5 | 4 | 4 | 4 | 5 | 4 | 40 | 40 |
| 7 | 8 | 6 | 3 | 4 | 8 | 5 | 5 | 4 | 3 | 30 | 60 |
| 8 | 10 | 5 | 4 | 7 | 6 | 4 | 2 | 5 | 3 | 35 | 48 |
| 9 | 12 | 4 | 6 | 5 | 3 | 3 | 4 | 3 | 1 | 40 | 45 |
Задание 3
На заводах 1, 2 и 3 производится однородная продукции в количестве 
и 
единиц. При этом затраты на производство единицы продукции на заводах составляют 
и 
ден.ед. Четырем потребителям требуется соответственно 
единиц продукции. Расходы 
по перевозке единицы продукции с 
-го завода 
-му потребителю известны. Для полного удовлетворения потребностей необходимо увеличить выпуск продукции на k-ом заводе. При этом дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции равны 
.
Требуется:
1. Найти план доставки продукции потребителю, при котором полностью удовлетворяется спрос, а совокупные затраты, связанные с изготовлением продукции и ее доставкой потребителям, минимизируется.
2. Определить минимальные совокупные затраты на производство продукции и доставку ее потребителям по оптимальному плану расширения выпуска продукции.
Исходные данные по вариантам заданий указаны в таблице 27.
Указания: Вариант увеличения выпуска продукции рассматривать в ходе решения как самостоятельный пункт производства в едином комплексе с данными пунктами (заводами 1,2,3).
Таблица 27
| № вар | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
 
| 700 | 600 | 300 | 200 | 500 | 800 | 200 | 250 | 600 | 900 |
| 300 | 400 | 600 | 500 | 700 | 300 | 600 | 450 | 450 | 300 |
| 600 | 700 | 1000 | 300 | 800 | 500 | 500 | 300 | 750 | 600 |
| 5 | 2 | 7 | 6 | 8 | 7 | 6 | 4 | 7 | 5 |
| 7 | 4 | 6 | 3 | 3 | 5 | 4 | 5 | 5 | 3 |
| 4 | 3 | 2 | 5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 4 |
| 350 | 500 | 500 | 350 | 600 | 650 | 150 | 200 | 500 | 450 |
| 550 | 300 | 700 | 150 | 400 | 250 | 400 | 400 | 700 | 650 |
| 250 | 800 | 400 | 250 | 750 | 350 | 200 | 150 | 750 | 350 |
| 650 | 200 | 450 | 450 | 350 | 550 | 700 | 400 | 650 | 550 |
| 7 | 4 | 4 | 2 | 5 | 3 | 5 | 9 | 7 | 3 |
| 8 | 10 | 5 | 4 | 2 | 8 | 4 | 3 | 5 | 6 |
| 7 | 6 | 7 | 3 | 3 | 5 | 7 | 4 | 9 | 4 |
| 9 | 8 | 9 | 7 | 4 | 4 | 7 | 6 | 3 | 9 |
| 8 | 5 | 7 | 6 | 7 | 9 | 3 | 3 | 8 | 2 |
| 5 | 7 | 4 | 8 | 8 | 3 | 2 | 2 | 4 | 5 |
| 3 | 3 | 9 | 4 | 6 | 7 | 5 | 5 | 3 | 8 |
| 8 | 9 | 7 | 2 | 5 | 6 | 9 | 3 | 12 | 4 |
| № вар | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 7 | 4 | 8 | 9 | 6 | 4 | 6 | 4 | 8 | 3 |
| 4 | 8 | 2 | 5 | 9 | 8 | 1 | 7 | 4 | 7 |
| 3 | 6 | 3 | 3 | 7 | 7 | 5 | 9 | 6 | 4 |
| 7 | 2 | 8 | 8 | 2 | 5 | 7 | 6 | 7 | 9 |
| k | 1 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 3 | 3 | 1 | 2 |
| 6 | 3 | 6 | 3 | 4 | 4 | 3 | 2 | 4 | 6 |
Задание 4
Производственное объединение выделяет четырем входящим в него предприятиям кредит в сумме 100 млн ден.ед. для расширения производства и увеличения выпуска продукции. По каждому предприятию известен возможный прирост 
выпуска продукции (в денежном выражении) в зависимости от выделенной ему суммы X. Для упрощения вычислений выделяемые суммы кратны 20 млн. ден. ед. (см. таблицу 28). При этом предполагаем, что прирост выпуска продукции на j -м предприятии не зависит от суммы средств, вложенных в другие предприятия, а общий прирост выпуска в производственном объединении равен сумме приростов, полученных на каждом предприятии объединения.
Требуется так распределить кредит между предприятиями, чтобы общий прирост выпуска продукции на производственном объединении был максимальным.
Таблица 28
| Выделяемые | Предприятие | |||
средства 
| №1 | №2 | №3 | №4 |
| млн ден. ед. | Прирост выпуска продукции на предприятиях млн ден. ед. | |||
| 
| 
| 
| |
| 20 | 10 | 
| 11 | 16 |
| 40 | 31 | 
| 36 | 37 |
| 60 | 42 | 
| 45 | 46 |
| 80 | 62 | 
| 60 | 63 |
| 100 | 76 | 
| 77 | 80 |
,
Значения - по вариантам даны в таблице 29.
Таблица 29
| № вар | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 12 | 10 | 14 | 12 | 10 | 11 | 13 | 11 | 13 | 10 |
| 26 | 24 | 28 | 24 | 26 | 23 | 28 | 25 | 25 | 26 |
|
| 36 | 34 | 38 | 36 | 34 | 33 | 37 | 36 | 35 | 37 |
| 54 | 52 | 56 | 52 | 54 | 52 | 55 | 55 | 54 | 53 |
|
| 72 | 74 | 78 | 74 | 74 | 73 | 76 | 74 | 78 | 75 |
Задание 5
Найти оптимальную стратегию замены оборудования возраста k лет на период продолжительностью 7 лет, если для каждого года планового периода известны стоимость 
продукции, производимой с использованием этого оборудования, и эксплутационные расходы 
. Известны также остаточная стоимость, не зависящая от возраста оборудования и составляющая s ден. ед., и стоимость нового оборудования, равная p ден. ед., не меняющаяся в плановом периоде.
Исходные данные по вариантам заданий указаны в таблицах 30-31.
Таблица 30
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|
| 40 | 39 | 38 | 37 | 37 | 36 | 36 | 35 |
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
Таблица 31
| № вар | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| k | 1 | 3 | 2 | 0 | 4 | 3 | 2 | 3 | 1 | 2 |
|
| 10 | 4 | 6 | 8 | 5 | 12 | 7 | 9 | 6 | 8 |
|
| 11 | 5 | 6 | 9 | 6 | 12 | 8 | 9 | 7 | 8 |
|
| 11 | 6 | 7 | 9 | 7 | 13 | 9 | 10 | 8 | 9 |
|
| 12 | 7 | 7 | 10 | 9 | 14 | 9 | 11 | 9 | 9 |
|
| 13 | 7 | 8 | 11 | 10 | 15 | 10 | 11 | 10 | 10 |
| 13 | 8 | 9 | 12 | 11 | 15 | 11 | 12 | 10 | 11 |
| 14 | 9 | 9 | 13 | 13 | 16 | 12 | 13 | 11 | 12 |
| 15 | 10 | 10 | 14 | 15 | 17 | 13 | 13 | 12 | 13 |
| s | 7 | 5 | 6 | 4 | 5 | 7 | 6 | 7 | 5 | 4 |
| p | 20 | 18 | 16 | 19 | 22 | 21 | 17 | 19 | 20 | 18 |
СОДЕРЖАНИЕ
| ВВЕДЕНИЕ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ЛИТЕРАТУРА | 3 3 4 |
| 1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА И КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ И МОДЕЛЕЙ, ПРИМЕНЯЕМЫХ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ | 5 |
| 1.1 Предмет математического программирования | 5 |
| 1.2 Общая схема формирования экономико-математических моделей | 5 |
| 1.3 Классификация методов математического программирования | 6 |
| 2 ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ | 7 |
| 2.1 Задача линейного программирования | 7 |
| 2.2 Форма записи задач линейного программирования | 12 |
| 2.3 Графический метод решения ЗЛП | 15 |
| 2.4 Симплекс метод решения ЗЛП | 17 |
| 3 ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ | 28 |
| 3.1 Постановка транспортной задачи по критерию стоимости в матричной форме | 28 |
| 3.2 Закрытая и открытая модели транспортной задачи 3.3 Алгоритм решения сбалансированной транспортной задачи | 30 31 |
| 3.4 Построение исходного опорного плана (первый пункт алгоритма) | 31 |
| 3.5 Проверка оптимальности опорного плана методом потенциалов | 35 |
| 3.6 Переход к нехудшему опорному плану (третий пункт алгоритма) | 36 |
| 4 ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ | 40 |
| КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА | 52 |
План 2005/2006, поз.
Колодная Елена Мумунджановна
Программа,
методические указания и контрольные задания
по дисциплине
«МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ»
для студентов уровня ВО
заочной формы обучения специальностей
1 – 26 02 03 – Маркетинг
1 – 25 01 07 – Экономика и управление на предприятии
Редактор Вердыш Н.В.
Подписано к печати__________
Формат 60х84/16
Усл. печ. Л. 0,4, уч.-изд. Л. 0,3
Тираж___экз. Заказ___
Учреждение образования
«ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ»
220114, г. Минск, ул. Ф. Скорины 8, к.2
Дата добавления: 2018-09-20; просмотров: 1263; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!