Копирование квантового состояния
Объективность, но неизмеримость спинового состояния электрона поясняет еще один важный факт: невозможно скопировать квантовое состояние, оставив оригинальное состояние в неприкосновенном виде! Предположим, что мы могли бы изготовить копию спинового состояния электрона |α ). Если бы нам удалось сделать это один раз, то Мы могли бы сделать это еще раз, а затем повторить еще и еще. Результирующая система имела бы огромный угловой момент вполне определенного направления. Это направление (обозначим его α ) могло бы быть установлено с помощью макроскопического измерения. Но тогда оказалась бы нарушенной принципиальная неизмеримость спинового состояния |α ).
Но если мы готовы разрушить исходное состояние, то скопировать квантовое состояние все же возможно. Допустим, что у нас есть электрон в некотором неизвестном спиновом состоянии |α ) и нейтрон в некотором другом спиновом состоянии |γ ). Вполне законно произвести обмен этими состояниями так, чтобы спиновым состоянием нейтрона стало |α ), а спиновым состоянием электрона |γ ). То, что мы не можем — это изготовить спиновое состояние |α ) в двух экземплярах (если только мы уже не знаем, каково состояние |α ) на самом деле)! (См. также Вутгерс, Цурек [1982].)
Вспомним рассмотренную в главе 1(подгл. «Железо» и «софт», прим.38) «машину для телепортации». Ее работа было основана на принципиальной возможности собрать на удаленной от нас планете полную копию тела и головного мозга какого-нибудь человека. Интригующе интересно предположить, что человеческое сознание может зависеть от некоторых аспектов квантового состояния. Если это так, то квантовая теория запрещала бы нам изготовление копии этого «сознания» без разрушения состояния оригинала — и тем самым можно было бы разрешить «парадокс» телепортации. Возможность существенного влияния квантовых эффектов на функционирование головного мозга будет рассмотрена в двух заключительных главах.
|
|
|
Спин фотона
Рассмотрим теперь «спин» фотона и его связь со сферой Римана. Фотоны действительно обладают спином, но поскольку они всегда движутся со скоростью света, их спин нельзя рассматривать как вращение вокруг какой-то неподвижной точки; ось спина фотона всегда совпадает с направлением движения. Спин фотона называется поляризацией . Поляризация — это явление, на котором основано действие «поляроидных» солнцезащитных очков. Возьмите два фрагмента поляроида, наложите их один на другой и посмотрите сквозь них. В общем случае вы увидите, что через них проходит некоторое количество света. Держа один из фрагментов неподвижно, поворачивайте другой фрагмент. Количество света, проходящего сквозь поляроиды, будет изменяться. При одной ориентации, когда проходит максимальное количество света, второй поляроид практически ничего не вычитает из светового потока, проходящего сквозь первый поляроид. Но при ориентации, выбранной под прямым углом к первой, свет практически вообще не проходит сквозь поляроиды.
|
|
|
Это явление легче всего понять в терминах волновой картины света. Здесь нам понадобится предложенный Максвеллом способ рассмотрения света как комбинации осциллирующих электрического и магнитного полей. На рис. 6.26 изображен плоскополяризованный свет. Электрическое поле осциллирует в плоскости, называемой плоскостью поляризации , а магнитное поле осциллирует в такт с электрическим, но в ортогональной плоскости.
Рис. 6.26. Плоскополяризованная электромагнитная волна
Каждый фрагмент поляроида пропускает свет, плоскость поляризации которого направлена вдоль структуры поляроида. Когда структура второго поляроида ориентирована так же, как структура первого, то весь свет, прошедший сквозь первый поляроид, проходит и сквозь второй. Но когда структуры двух поляроидов образуют прямой угол, то второй поляроид отсекает весь свет, прошедший сквозь первый поляроид. Если же два поляроида ориентированы друг относительно друга под некоторым углом φ , то второй поляроид пропускает долю, равную
|
|
|
cos 2φ ,
света, прошедшего сквозь первый поляроид.
В корпускулярной картине мы должны считать, что каждый индивидуальный фотон обладает поляризацией. Первый поляроид действует как измеритель поляризации, давая ответ ДА , если фотон действительно поляризован в соответствующем направлении. В этом случае фотону разрешается пройти сквозь поляроид. Если же фотон поляризован в ортогональном направлении, то измерение первым поляроидом даст ответ НЕТ , и фотон будет поглощен. (В данном случае «ортогональность» в гильбертовом пространстве соответствует прямому углу между направлениями в обычном пространстве!) Предположим, что фотон проходит сквозь первый поляроид, после чего второй поляроид задает ему соответствующий вопрос, но уже относительно некоторого другого направления. Угол между этими двумя направлениями равен φ , как в упомянутом выше случае. Тогда мы имеем cos 2φ в качестве вероятности того, что фотон пройдет сквозь второй поляроид при условии, что он уже прошел сквозь первый поляроид.
|
|
|
Где же здесь появляется сфера Римана? Чтобы получить полный набор состояний поляризации, описываемый комплексными числами, нам необходимо рассмотреть круговую и эллиптическую поляризацию. Для классической волны эти разновидности поляризации представлены на рис. 6.27.
Рис. 6.27. Электромагнитная волна с круговой поляризацией. (Эллиптическая поляризация занимает промежуточное положение между плоской (рис. 6.26) и круговой (рис. 6.27) поляризацией.)
При круговой поляризации электрическое и магнитное поля не осциллируют, а согласованно вращаются , по-прежнему образуя между собой прямой угол. При эллиптической поляризации существует некоторая комбинация вращательного и колебательного движений, а вектор электрического поля «вычерчивает» в пространстве эллипс . В квантовом описании каждому индивидуальному фотону разрешается находиться в любом из спиновых состояний, т. е. быть поляризованным любым из названных выше способов.
Чтобы понять, как набор возможных поляризаций снова образует сферу Римана, представим себе фотон, который движется вертикально вверх. Северный полюс теперь представляет состояние |R ) — правовинтовой спин. Это означает, что электрический вектор движущегося фотона вращается против часовой стрелки относительно вертикали (если смотреть сверху). Южный полюс представляет состояние |L ) — левовинтовой спин. (Фотоны можно представлять вращающимися наподобие ружейной пули, либо слева направо, либо справа налево.) Общее спиновое состояние |R ) + q |L ) представляет собой комплексную линейную комбинацию двух состояний |R ) и |L ) и соответствует точке на сфере Римана, помеченной значением q . Чтобы установить связь между значением q и эллипсом поляризации, мы прежде всего извлечем из q квадратный корень и получим другое комплексное число р :
р = √q
Затем нанесем р вместо q на сферу Римана и рассмотрим плоскость, проходящую через центр сферы перпендикулярно прямой, соединяющей центр сферы с точкой р . Эта плоскость пересекает сферу по окружности, проектируя которую на горизонталь, мы получаем эллипс поляризации (рис. 6.28)[159].
Рис. 6.28 . Сфера Римана (но теперь со значениями √q ) также описывает состояния поляризации фотона. (Вектор, направленный в точку √q , называется вектором Стока .)
Сфера Римана со значениями q по-прежнему описывает совокупность поляризованных состояний фотона, но квадратный корень р из q дает нам ее пространственную реализацию.
Чтобы вычислить вероятности, мы можем воспользоваться той же самой формулой 1/2 (1 + cos v ), которой мы пользовались для электрона, применив ее к q , а не к р . Рассмотрим плоскую поляризацию. Мы измеряем поляризацию фотона сначала в одном направлении, затем в другом направлении, образующем с первым угол φ . Эти два направления соответствуют двум значениям р на экваторе сферы, стягивающим угол φ в центре сферы. Так как величины р — квадратные корни из величин q , угол v , под которым из центра видны q -точки, вдвое больше угла, под которым из центра видны p -точки: v = 2φ . Таким образом, вероятность получения ответа ДА после второго измерения при условии, что после первого измерения был получен ответ ДА (т. е. вероятность прохождения фотона через второй поляроид при условии, что он прошел сквозь первый поляроид) равна 1/2 (1 + cos φ ), что, как показывают несложные тригонометрические преобразования, в точности совпадает с cos 2φ и утверждалось выше.
Объекты с большим спином
Для квантовой системы с числом базисных состояний больше двух пространство физически различимых состояний имеет более сложную структуру, чем сфера Римана. Но в случае спина самой сфере Римана всегда отведена некоторая прямая геометрическая роль. Рассмотрим массивную частицу или атом со спином n х ħ /2 в состоянии покоя. (Для безмассовых частиц со спином, т. е. частиц, которые движутся со скоростью света (как, например, фотон), спин всегда, как было описано выше, представляет собой систему с двумя состояниями. Но у массивной частицы число состояний увеличивается с увеличением спина.) Если мы захотим измерить спин такой частицы в некотором направлении, то обнаружим, что существуют n +1 различных возможных исходов измерения, в зависимости от того, какая часть от полного спина ориентирована в выбранном направлении. В терминах фундаментальной единицы ħ /2 возможные результаты для значений спина в выбранном направлении равны n , n — 2 , n — 4, …, 2 — n или — n. Следовательно, при n = 2 спин может быть равен (в единицах ħ /2 ) 2 , 0 или -2 , а при n = 3 это 3 ,1 , -1 или -3 и т. д. Отрицательные значения соответствуют спину, направленному главным образом в сторону, противоположную той, в которой производилось измерение. В случае спина, равного 1 /2 , т. е. при n = 1 , значение 1 соответствует ответу ДА , а значение -1 — ответу НЕТ (в приведенных выше описаниях).
Оказывается, хотя я не буду пытаться излагать здесь причины (Майорана [1932], Пенроуз [1987а]), что любое спиновое состояние (с точностью до коэффициента пропорциональности) для спина ħn /2 однозначно характеризуется (неупорядоченным) набором из n точек на сфере Римана, т. е. n (обычно различными) направлениями из ее центра (рис. 6.29). (Эти направления определяются измерениями, которые могут быть произведены над системой: если мы измерим спин в одном из этих направлений, то результат заведомо не будет целиком ориентирован в противоположном направлении, т. е. даст одно из значений n , n — 2 , n — 4 , …, 2 — n , но не — n .)
Рис. 6.29. Общее состояние с высшим спином для массивной частицы может быть описано как совокупность состояний со спином 1 /2 , ориентированных в произвольных направлениях
В частном случае при n = 1 , как в приведенном выше примере с электроном, мы получим одну точку на сфере Римана. Это — просто точка, помеченная значением q в приведенных выше описаниях. Но для состояний с высшим спином картина, как я только что описал, значительно усложняется, хотя надо заметить, что это описание почему-то не очень знакомо физикам.
В этом описании есть нечто весьма удивительное. Часто высказывают мнение, что в некотором подходящем пределе квантовые описания атомов (или элементарных частиц, или молекул) с необходимостью переходят в классические ньютоновские описания, когда система увеличивается в размерах и усложняется. Но в такой формулировке такое утверждение просто неверно . Ибо, как мы только что видели, спиновые состояния объекта с большим угловым моментом соответствуют большому числу точек, разбросанных по сфере Римана[160]. Мы можем мысленно представлять себе спин объекта как состоящим из целого множества спинов 1 /2 , ориентированных по всем различным направлениям, задаваемыми этими точками. Лишь весьма немногие из таких комбинированных состояний, а именно когда большинство точек концентрируются вместе в небольшой области на сфере (т. е. когда большинство спинов 1 /2 направлены примерно в одном и том же направлении), соответствуют реальным состояниям углового момента, которые мы обычно обнаруживаем у классических объектов, например, у крикетных шаров. Мы могли бы ожидать, что если выбрать спиновое состояние, в котором полный спин окажется равным (в единицах ħ /2 ) некоторому очень большому числу, а в остальном это выбор будет «случайным», то начнет возникать нечто похожее на классический спин. Но в действительности все происходит совсем не так. В общем случае квантовые спиновые состояния с большим полным спином совсем не похожи на классические спиновые состояния!
Как же в таком случае следует устанавливать соответствие с угловым моментом из классической физики? Хотя большинство квантовых состояний с большим спином не похожи на классические состояния, они представляют собой линейные комбинации (ортогональных) состояний, каждое из которых похоже на классическое состояние. Каким-то образом над системой оказывается произведенным «измерение», и состояние «скачком» переходит в то или другое состояние, похожее на классическое. Ситуация здесь аналогична той, которая складывается с любым другим классически измеримым свойством системы, а не только с угловым моментом. Именно этот аспект квантовой механики должен вступать в игру всякий раз, когда система «выходит на классический уровень». Более подробно я расскажу об этом в дальнейшем, но прежде чем мы сможем обсудить такие «большие» или «сложные» квантовые системы, нам необходимо хотя бы несколько разобраться в том странном способе, которым квантовая механика пользуется при рассмотрении систем, состоящих более чем из одной частицы.
Многочастичные системы
Квантовомеханические описания многочастичных состояний, к сожалению, очень сложны. В действительности такие описания чрезвычайно сложны. О них необходимо думать в терминах суперпозиций всех различных возможных расположений всех отдельных частиц! Это приводит к огромному числу возможных состояний — гораздо большему, чем в случае поля в классической теории. Мы уже видели, что квантовое состояние даже одной частицы, а именно волновая функция, обладает сложностями такого рода, которые характерны для всего классического поля. Эта картина (требующая для своего задания бесконечно большого числа параметров) гораздо сложнее, чем классическая картина одной частицы (для задания состояния которой требуется всего лишь небольшое число параметров — точнее, шесть параметров, если частица не обладает внутренними степенями свободы, например, спином; см. главу 5, «Гамильтонова механика»). Такая ситуация может показаться достаточно плохой, и можно было бы думать, что для описания квантового состояния двух частиц понадобится два поля , каждое из которых описывало бы состояние каждой частицы. Ничего подобного! Как мы увидим далее, в случае двух и более частиц описание квантового состояния становится гораздо сложнее.
Квантовое состояние одной (бесспиновой) частицы определяется комплексным числом (амплитудой) для каждого возможного положения, которое может занимать частица. Частица обладает амплитудой, чтобы находиться в точке А , и амплитудой, чтобы находиться в точке В , и амплитудой, чтобы находиться в точке С , и т. д. Подумаем теперь о двух частицах. Первая частица может находиться в точке А , а вторая, например, — в точке В . Возможность такого события должна была бы иметь некоторую амплитуду. С другой стороны, первая частица могла бы находиться в точке В , а вторая — в точке А , и такое расположение частиц также должно иметь некоторую амплитуду; возможно, что первая частица могла бы находиться в точке В , а вторая — в точке С или, может быть, обе частицы могли бы находиться в точке А . Каждый из этих возможных вариантов должен иметь некоторую амплитуду. Следовательно, волновая функция должна быть не просто парой функций положения (т. е. парой полей), а одной функцией двух положений!
Чтобы получить некоторое представление о том, насколько сложнее задать функцию двух положений по сравнению с двумя функциями положения, представим себе ситуацию, в которой существует лишь конечный набор допустимых положений. Предположим, что разрешены ровно 10 положений, заданных (ортонормированными) состояниями
Тогда состояние |φ ) одной частицы было бы какой-то линейной комбинацией
где различные коэффициенты z 0, z 1 , z 2 ,…., z 9 дают, соответственно, амплитуды того, что частица находится попеременно в каждой из 10 точек. Десять комплексных чисел задают состояние одной частицы. В случае двухчастичного состояния нам понадобилось бы по одной амплитуде для каждой пары положений. Всего существуют
10 2 = 100
различных (упорядоченных) пар положений, поэтому нам потребовались бы 100 комплексных чисел! А если бы у нас были только два одночастичных состояния (т. е. «две функции положения», а не «одна функция двух положений», как в приведенном выше примере), то нам понадобилось бы всего лишь 20 комплексных чисел.
Пронумеруем эти 100 комплексных чисел следующим образом
а соответствующие (ортонормированные) базисные векторы[161]
Тогда общее двухчастичное состояние можно было бы представить в виде
Такое обозначение состояний в виде «произведения» имеет следующий смысл: если |α ) — возможное состояние первой частицы (не обязательно состояние с определенным положением) и если |β ) — возможное состояние второй частицы, то состояние, в котором первая частица находится в состоянии |α ), а вторая — в состоянии |β ), можно представить в виде
|α ) |β ).
«Произведения» можно также брать между любыми другими парами квантовых состояний, а не обязательно между парами одночастичных состояний. Таким образом, мы всегда интерпретируем состояние-произведение |α ) |β ) (не обязательно состояний отдельных частиц) как конъюнкцию
«первая система находится в состоянии |α )» и
«вторая система находится в состоянии |β )»
(Аналогичная интерпретация справедлива и относительно |α ) |β ) |γ ) и т. д.; см. далее.) Однако общее двухчастичное состояние в действительности не имеет вид «произведения». Например, оно может быть представимо в виде
|α )|β ) + |ρ )|σ ),
где |ρ ) — еще одно возможное состояние первой системы,
а |σ ) — еще одно возможное состояние второй системы. Это состояние представляет собой линейную суперпозицию , а именно: суперпозицию первой конъюнкции состояний |α ) и |β ) плюс вторая конъюнкция состояний |ρ ) и |σ ), и не может быть представлено в виде простого произведения (т. е. как конъюнкция двух состояний). Еще один пример — состояние |α )|β ) — |ρ )|σ ) описывало бы другую такую линейную суперпозицию. Заметим, что квантовая механика требует проведения четкого различия между смыслом слов «плюс» и «и». И в обращении с этими словами нам следует быть более осторожными!
В случае трех частиц ситуация во многом аналогична. Чтобы задать общее трехчастичное состояние в приведенном выше примере, где имеются только 10 возможных положений, нам потребовалось бы теперь 1000 комплексных чисел! Полный базис для трехчастичных состояний состоял бы из следующих элементов:
|0 )|0 )|0 ), |0 )|0 )|1 ), |0 )|0 )|2 ), …, |9 )|9 )|9 ).
Частные трехчастичные состояния имели бы вид произведений трех сомножителей
|α )|β )|γ )
(где |α ), |β ) и |γ ) — не обязательно состояния с определенным положением), но для общего трехчастичного состояния нам понадобилось бы построить суперпозицию большого числа состояний типа этих простых «произведений». Соответствующая схема получения общего состояния для четырех и более частиц должна быть очевидна.
До сих пор мы рассматривали случай различимых частиц, когда все частицы: «первая», «вторая», «третья» и т. д. принадлежат к разным типам. Одна из поразительных особенностей квантовой механики заключается в том, что в случае «тождественных» частиц правила коренным образом меняются. Действительно, правила становятся такими, что в самом прямом смысле частицы определенного типа должны быть не просто почти тождественными, а в точности тождественными. Это относится ко всем электронам и ко всем фотонам. Но оказывается, что все электроны тождественны друг другу совсем не так , как тождественны все фотоны! Различие заключается в том, что электроны принадлежат к так называемым фермионам, тогда как фотоны принадлежат к бозонам. Эти два класса частиц надлежит рассматривать весьма различным образом.
Прежде чем я окончательно запутаю читателя этими словесными несуразностями, позвольте мне попытаться объяснить, как действительно следует характеризовать фермионные и бозонные состояния. Правило состоит в следующем. Если |ψ ) — состояние, содержащее некоторое число фермионов определенного типа, то при перестановке любых двух фермионов |ψ ) должно перейти в — |ψ ):
|ψ ) → — |ψ )
Если состояние |ψ ) содержит некоторое число бозонов определенного типа, то при перестановке любых двух бозонов |ψ ) должно перейти в |ψ ):
|ψ ) → |ψ )
Отсюда следует, что никакие два фермиона не могут находиться в одном и том же состоянии . Действительно, если бы какие-нибудь два фермиона находились в одном и том же состоянии, то их перестановка вообще никак не сказывалась бы на полном состоянии системы, следовательно должно было бы выполняться — |ψ )=|ψ ) т. е. |ψ )=0 , что не допустимо для квантового состояния. Это свойство известно как принцип запрета Паули [162], а его следствия для структуры вещества имеют фундаментальный характер. Действительно, все главные составляющие вещества: электроны, протоны и нейтроны принадлежат к числу фермионов. Не будь принципа запрета, вещество бы просто сколлапсировало!
Вернемся к нашему примеру с 10 положениями и предположим теперь, что у нас есть состояние, состоящее из двух тождественных фермионов. Состояние |0 )|0 ) исключается в силу принципа Паули (при перестановке первого множителя со вторым оно переходит в себя вместо того, чтобы переходить в себя со знаком минус). Кроме того, состояние |0 )|1 ) также само по себе должно быть исключено, так как при перестановке множителей знак минус не появляется; но это легко можно исправить, если заменить произведение |0 )|1 ) комбинацией
|0 )|1 ) — |0 )|1 ).
(Для нормировки оба члена можно было бы умножить на общий множитель 1 /√2 .) Это состояние правильно изменяет знак при перестановке первой частицы со второй, но теперь состояния |0 )|1 ) и |0 )|1 ) уже не независимы. Вместо этих двух состояний нам теперь разрешается иметь только одно состояние! Всего существует
1 /2 (10 х 9 ) = 45
состояний такого рода — по одному на каждую неупорядоченную пару различных состояний из |0 ), |1 )…., |9 ). Таким образом, для задания двухфермионного состояния в нашей системе необходимы 45 комплексных чисел. В случае трех фермионов нам требуются 3 различные позиции, и базисные состояния выглядят следующим образом
Всего таких состояний (10 х 9 х 8 )/6 = 120 , поэтому для задания трехфермионного состояния необходимы 120 комплексных чисел.
Для пары тождественных бозонов независимые базисные состояния бывают двоякого рода, а именно такие, как
|0 )|1 ) + |1 )|0 ),
и такие, как
|0 )|0 )
(которое теперь разрешается), что дает всего 10 х 11 /2 = 55 базисных состояний. Таким образом, для задания двухбозонных состояний требуется 55 комплексных чисел. Для трех бозонов существуют базисные состояния трех различных типов и для задания каждого из них требуются (10 х 11 х 12 )/6 = 220 комплексных чисел, и так далее.
Разумеется, для того, чтобы донести до читателя основные идеи, я рассматривал упрощенную ситуацию. Более реалистическое описание потребовало бы целый континуум состояний с определенным положением, но существенные идеи остаются такими же. Еще одно небольшое осложнение связано с наличием спина . Для каждой частицы со спином 1 /2 (такая частица с необходимостью является фермионом) в каждом положении существовало бы 2 возможных состояния. Обозначим их «↑» (спин «вверх») и «↓» (спин «вниз»). Тогда в рассматриваемой нами упрощенной ситуации мы получаем не 10 , а 20 базисных состояний
а в остальном рассуждать следует так же, как было сделано только что (таким образом, для двух таких фермионов необходимо взять (20 х 19 )/2 = 190 чисел, для трех — (20 х 19 х 18 )/6 = 1140 и т. д.).
В главе 1 я упоминал о том, что согласно современной теории, если частицу из тела человека поменять местами с аналогичной частицей из кирпича в стене его жилища, то ничего не произойдет. Если бы эта частица была бозоном, то, как мы знаем, состояние |ψ ) действительно осталось бы совершенно не изменившимся. Если бы эта частица была фермионом, то состояние |ψ ) в результате обмена частиц перешло бы в — |ψ ) физически тождественное состоянию |ψ ). (В случае необходимости изменение знака можно устранить с помощью простой меры предосторожности, а именно: при замене одной частицы на другую, повернуть одну из двух частиц на 360° вокруг ее оси. Напомним, что фермионы изменяют знак при таком повороте, а состояние бозонов остается неизменным!) Современная теория (существующая примерно с 1926 года) действительно сообщает нам нечто глубокое относительно индивидуального тождества мельчайших «кирпичиков» физической материи. Строго говоря, мы не можем говорить об «этом конкретном электроне» или об «индивидуальном фотоне». Утверждать, что «первый электрон находится здесь, а второй — там», означает утверждать, что состояние имеет вид |0 )|1 ), что, как мы уже знаем, недопустимо, если речь идет о фермионном состоянии! Однако вполне допустимо утверждение о том, что «существует пара электронов, один из которых находится здесь, а другой — там». Вполне «законно» говорить о множестве всех электронов или всех протонов, или всех фотонов (хотя даже такое утверждение игнорирует взаимодействия между различными типами частиц). Индивидуальные электроны являются неким приближением такой полной картине, как, впрочем, и индивидуальные протоны или индивидуальные фотоны. Для большинства целей этого приближения вполне достаточно, но существуют различные ситуации, при которых оно не срабатывает — убедительными контрпримерами могут служить сверхпроводимость, сверхтекучесть и излучение лазера.
Картина физического мира, которую представила нам квантовая механика, — совсем не то, к чему мы привыкли в классической физике. Но придержите вашу шляпу — в квантовом мире есть гораздо более странные вещи!
«Парадокс» Эйнштейна, Подольского и Розена
Как упоминалось в начале этой главы, некоторые из идей Альберта Эйнштейна сыграли фундаментальную роль в развитии квантовой теории. Напомним, что именно Эйнштейн впервые ввел еще в 1905 году понятие «фотон» — квант электромагнитного поля — из этого понятия впоследствии выросла идея дуализма волна-частица. (Эйнштейну отчасти принадлежит и понятие «бозон», как и многие другие идеи, сыгравшие центральную роль в квантовой теории поля.) Тем не менее Эйнштейн так и не смог принять теорию, в которую впоследствии развились эти идеи, полагая, что такая теория не может быть описанием физического мира. Хорошо известно отвращение, которое Эйнштейн питал к вероятностному аспекту квантовой теории, и которое он в сжатой форме сформулировал в одном из писем к Максу Борну в 1926 году (письмо цитируется в книге: Пайс [1982], с. 443):
«Квантовая механика производит очень внушительное впечатление. Но внутренний голос говорит мне, что это еще не настоящая „вещь“. Квантовая теория дает очень многое, но вряд ли способна приблизить нас к разгадке секрета Старика. Я глубоко убежден, что Он не играет в кости».
Однако, как оказывается, еще больше, чем такой физический индетерминизм, Эйнштейна беспокоило кажущееся отсутствие объективности в том, каким образом должна описываться квантовая теория. В моем изложении квантовой теории я пытался подчеркнуть, что описание мира, даваемое этой теорией, в действительности вполне объективно, хотя и кажется часто весьма странным и противоречащим интуиции. С другой стороны, Бор, по-видимому, считал, что квантовое состояние системы (между измерениями) не обладает настоящей физической реальностью, а действует лишь как свод «знаний некоторого субъекта» о рассматриваемой системе. Но разве различные наблюдатели не могут обладать различными знаниями о системе, тогда волновая функция должна была бы быть чем-то существенно субъективным , или «целиком существовать в уме физика»? Наша замечательно точная физическая картина мира, создававшаяся на протяжении многих столетий, не должна испариться целиком; поэтому Бору пришлось рассматривать мир на классическом уровне как действительно обладающий объективной реальностью.
Но в состояниях на квантовом уровне , которые, казалось бы, лежат в основе всего, никакой «реальности» он не усматривал.
Такая картина была неприемлема для Эйнштейна, который был глубоко убежден в том, что объективный физический мир должен действительно существовать, даже на микроскопических масштабах квантовых явлений. В своих многочисленных дискуссиях с Бором Эйнштейн пытался (но неудачно) показать, что квантовой картине присущи внутренние противоречия, и что за квантовой теорией должна стоять какая-то более глубокая структура, возможно, более похожая на картины классической физики. Возможно, вероятностное поведение квантовых систем является проявлением статистических эффектов более малых компонентов, или частей, системы, о которых мы не располагаем непосредственным знанием. Последователи Эйнштейна, в особенности Давид Бом, развили высказанную им идею о «скрытых переменных», согласно которой должна существовать некоторая вполне определенная реальность, но параметры, точно определяющие систему, не доступны нам непосредственно, и квантовые вероятности возникают из-за того, что значения этих параметров неизвестны до измерения.
Согласуется ли теория скрытых переменных со всеми наблюдаемыми фактами квантовой физики? Похоже, что ответ на этот вопрос должен быть утвердительным, но только если эта теория по существу нелокальна в том смысле, что скрытые параметры должны иметь возможность мгновенно влиять на элементы системы в сколь угодно далеких областях! Такая ситуация не понравилась бы Эйнштейну, особенно в связи с возникающими трудностями в специальной теории относительности. К ним я еще вернусь в дальнейшем. Наиболее успешная теория скрытых переменных известна как модель де Бройля (де Бройль [1956], Бом [1952]). Я не буду обсуждать здесь эти модели, так как в этой главе моя цель состоит только в том, чтобы дать общий обзор стандартной квантовой теории, а не различных соперничающих с ней положений. Если кто-нибудь жаждет физической реальности, но готов пожертвовать детерминизмом, то самой стандартной теории вполне достаточно. Он просто рассматривает вектор состояния как описывающий «реальность» — обычно изменяющийся во времени в соответствии с гладкой детерминистской U -процедурой , но время от времени совершающий причудливые «прыжки» в соответствии с R -процедурой всякий раз, когда эффект увеличивается до классического уровня. Но проблема нелокальности и явных трудностей с относительностью сохраняются. Рассмотрим некоторые из них.
Предположим, что у нас имеется физическая система, состоящая из двух подсистем А и В . Пусть, например, А и В — две различные частицы. Предположим, что для состояния частицы А существуют две (ортогональные) альтернативы |α ) и |ρ ), а для состояния частицы В — две (ортогональные) альтернативы |β ) и |σ ). Как мы уже видели выше, общее комбинированное состояние системы будет не просто произведением (конъюнкцией «и ») некоторого состояния частицы А и некоторого состояния частицы В , а суперпозицией («плюс») таких произведений. (Тогда мы говорим, что А и В коррелированы.) Пусть состояние системы представимо суперпозицией
|α )|β ) + |ρ )|σ ).
Произведем измерение типа «да или нет» над частицей А , которое отличает состояние |α ) (ДА ) от состояния |ρ ) (НЕТ ). Что произойдет при этом с частицей B ? Если измерение даст ответ ДА , то результирующим должно быть состояние
|α )|β ),
а если измерение даст ответ НЕТ , то
|ρ )|σ )
Таким образом, измерение, производимое нами над частицей А , заставляет состояние частицы В измениться скачком: перейти в |β ), если получен ответ ДА , и перейти в |σ ), если получен ответ НЕТ ! Частица В не обязательно должна находиться поблизости от частицы А ; частицы могут быть разделены расстоянием в несколько световых лет. И все же частица В скачком переходит из одного состояния в другое одновременно с измерением, производимым над частицей А !
«Но постойте», — вполне может сказать читатель. К чему все эти подозрительные «скачки»? Почему не происходит просто следующее: представьте себе ящик, о котором известно, что в нем лежит один черный и один белый шар. Предположим, что некто извлек шары из ящика и, не глядя, отнес их в противоположные углы комнаты. Затем он взглянул на один шар и обнаружил, что он белый (аналог упоминавшегося выше состояния |α )), тогда — алле-оп! — другой шар оказывается черным (аналог состояния |β ))! С другой стороны, если первый шар оказался черным (аналог состояния |ρ )), то в мгновение ока состояние второго шара скачком переходит в «заведомо белый» (аналог состояния |σ )). Никто из читателей или читательниц в здравом уме не станет упорно приписывать внезапный переход второго шара из состояния «неопределенности» в состояние «определенно черный» или «определенно белый» некоторому таинственному нелокальному «влиянию», мгновенно доходящему до него от первого шара в тот самый момент, когда наблюдатель рассмотрел первый шар.
Но природа действует еще более изощренно. Действительно, в приведенном выше примере можно было бы представить, что система уже «знала», что частица В находилась в состоянии |β ), а частица А — в состоянии |α ) (или что частица В находилась в состоянии |σ ), а частица А — в состоянии |ρ )) до того, как над А было произведено измерение; и только экспериментатору состояния частиц не были известны. Обнаружив, что частица А находится в состоянии |α ), он просто заключил , что частица В находится в состоянии |β ). Такая точка зрения была бы «классической» — как в локальной теории скрытых переменных — и никаких скачкообразных физических переходов из одного состояния в другое в действительности не происходит. (Все это происходит лишь в уме экспериментатора!) Согласно такой точке зрения любая часть системы заранее «знает» результаты любого эксперимента, который мог бы быть произведен над ней. Вероятности возникают только из-за отсутствия такого знания у экспериментатора. Достойно удивления, что, как оказывается, эта точка зрения не срабатывает для объяснения всех загадочных нелокальных вероятностей, возникающих в квантовой теории!
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим ситуацию, аналогичную изложенной выше, но такую, что выбор измерения , производимого над системой А , остается нерешенным до тех пор, пока системы A и B не окажутся пространственно разделенными. Тогда, как представляется, факт выбора измерения мгновенно окажет влияние на поведение системы B ! Этот кажущийся парадоксальным «мысленный эксперимент» (ЭПР -типа) был предложен Альбертом Эйнштейном, Борисом Подольским и Натаном Розеном [1935]. Я опишу его вариант, предложенный Давидом Бомом [1951]. То, что никакое локальное «реалистическое» (т. е. типа скрытых переменных или «классического типа») описание не может дать правильные квантовые вероятности, следует из одной замечательной теоремы Джона С. Белла (Белл [1987], Рэй [1986], Сквайерс [1986]).
Предположим, что две частицы со спином 1 /2 , которые я буду называть электроном и позитроном (т. е. антиэлектроном ), возникли в результате распада одной частицы со спином 0 в некоторой точке (центре), и что они движутся от центра в противоположных направлениях (рис. 6.30).
Рис. 6.30. Частица с нулевым спином распадается на две частицы с половинным спином — электрон Б и позитрон Р. Представляется, что измерение спина одной из частиц со спином 1/2 мгновенно фиксирует состояние спина другой частицы
Из закона сохранения углового момента следует, что спины электрона и позитрона в сумме должны давать 0 , так как угловой момент исходной частицы был равен 0 . Отсюда следует, что когда мы измеряем спин электрона в каком-нибудь направлении, то, какое направление мы бы ни выбрали, спин позитрона окажется направленным в противоположную сторону! Электрон и позитрон могут быть разделены расстоянием в несколько миль или даже световых лет, тем не менее кажется, что сам выбор измерения, производимого над одной частицей, мгновенно фиксирует ось спина другой частицы!
Попытаемся теперь выяснить, как квантовый формализм приводит нас к такому заключению. Представим состояние двух частиц с суммарным нулевым угловым моментом вектором состояния |Q ). Тогда имеем соотношение
|Q ) = |E ↑) |P↓ ) — |E↓ ) |P ↑),
где Е означает электрон, а Р — позитрон. Здесь все описывается в терминах направлений спина «вверх/вниз». Мы видим, что полное состояние является линейной суперпозицией электрона со спином вверх и позитрона со спином вниз, а также электрона со спином вниз и позитрона со спином вверх. Таким образом, если мы измеряем спин электрона в направлении «вверх/вниз» и обнаруживаем, что спин направлен вверх, то мы должны скачком перейти к состоянию |E ↑) |P↓ ), поэтому спиновое состояние позитрона должно быть направлено вниз. С другой стороны, если мы обнаруживаем, что спин электрона направлен вниз, то состояние скачком переходит в |E↓ ) |P ↑), поэтому спин позитрона направлен вверх.
Предположим, что мы выбрали какую-то другую пару противоположных направлений, например, вправо и влево, где
|E→ ) = |E ↑) + |E↓ ), |P→ ) = |P ↑) + |P↓ )
и
|E← ) = |E ↑) — |E↓ ), |P← ) = |P ↑) — |P↓ ).
Тогда мы находим (если угодно, можете проверить выкладки):
|E→ ) |P← ) — |E← ) |P→ ) = (|E ↑) + |E↓ ) (|P ↑) — |P↓ ) — (|E ↑) — |E↓ )) (|P ↑) + |P↓ )) = |E ↑)|P ↑) + |E↓ )|P ↑) — |E ↑)|P↓ ) — |E↓ )|P↓ ) — |E ↑)|P ↑) + |E↓ )|P ↑) — |E ↑)|P↓ ) + |E↓ )|P↓ ) = -2 (|E ↑)|P↓ ) — |E↓ )|P ↑) = -2 |Q )
т. е. мы получили (с точностью до несущественного множителя -2 ) то же самое состояние, из которого мы «стартовали». Таким образом, наше исходное состояние можно одинаково хорошо считать линейной суперпозицией электрона со спином вправо, позитрона со спином влево, и электрона со спином влево, позитрона со спином вправо! Выписанное выше выражение полезно, если мы решили измерять спин электрона в направлении вправо-влево вместо направления вверх-вниз. Если мы обнаружим, что спин электрона действительно направлен вправо, то состояние системы скачком переходит в |E→ ) |P← ), поэтому спин позитрона направлен влево. С другой стороны, если мы обнаружим, что спин электрона направлен влево, то состояние системы скачком переходит в |E← ) |P→ ), поэтому спин позитрона направлен вправо. Если бы мы стали измерять спин электрона в любом другом направлении, то получили бы соответствующую ситуацию: спиновое состояние позитрона мгновенно перешло бы скачком либо в измеряемое направление, либо в противоположное направление, в зависимости от измерения спина электрона.
Почему мы не можем моделировать спины наших частиц — электрона и позитрона аналогично тому, как мы поступили в приведенном выше примере с черным и белым шарами, извлекаемыми из ящика? Будем рассуждать на самом общем уровне. Вместо черного и белого шаров мы могли бы взять два каких-нибудь технических устройства Е и Р , первоначально образовывавших единое целое, а затем начавших двигаться в противоположные стороны. Предположим, что каждое из устройств Е и Р способно давать ответ ДА или НЕТ на измерение спина в любом заданном направлении. Этот ответ может полностью определяться технической начинкой устройства при любом выборе направления — или, может быть, устройство дает только вероятностные ответы (вероятность определяется его технической начинкой) — но при этом мы предполагаем, что после разделения каждое из устройств Е и Р ведет себя совершенно независимо от другого .
Поставим с каждой стороны измерители спина, один из которых измеряет спин Е , а другой — спин Р . Предположим, что каждый измеритель обладает тремя настройками для измерения направления спина при каждом измерении, например, настройками А , В , С для измерителя спина Е и настройками А ', В ', С ' для измерителя спина Р . Направления А ', В ', С ' должны быть параллельны, соответственно, направлениям А , В , и С . Предполагается также, что все три направления А , В , и С лежат в одной плоскости и образуют между собой попарно равные углы, т. е. углы в 120 ° (рис. 6.31).
Рис. 6.31. Простая версия парадокса ЭПР , принадлежащая Дэвиду Мермину, и теорема Белла, показывающие, что существует противоречие между локальным реалистическим взглядом на природу и результатами квантовой теории, E -измеритель и Р -измеритель каждый независимо имеет по три настройки для направлений, в которых они могут измерять спины соответствующих частиц (электрона и позитрона)
Предположим теперь, что эксперимент повторяется многократно и дает различные результаты для каждой из настроек. Иногда E -измеритель фиксирует ответ ДА (т. е. спин направлен вдоль измеряемого направления А , В , и С ), иногда фиксирует ответ НЕТ (т. е. спин имеет направление, противоположное тому, в котором производится измерение). Аналогично, Р -измеритель фиксирует иногда ответ ДА , иногда — НЕТ . Обратим внимание на два свойства, которыми должны обладать настоящие квантовые вероятности:
(1 ) Если настройки устройств Е и Р одинаковы (т. е. А совпадает с A ' и т. д.), то результаты измерений, производимых с помощью устройств Е и Р , всегда не согласуются между собой (т. е. E -измеритель фиксирует ответ ДА всякий раз, когда Р -измеритель дает ответ НЕТ , и ответ НЕТ всякий раз, когда Р -измеритель дает ответ ДА ).
(2 ) Если лимбы настроек могут вращаться и установлены случайно , т. е. полностью независимо друг от друга, то два измерителя равновероятно дают как согласующиеся, так и не согласующиеся результаты измерений.
Нетрудно видеть, что свойства (1 ) и (2 ) непосредственно следуют из приведенных выше правил квантовых вероятностей. Мы можем предположить, что E -измеритель срабатывает первым. Тогда Р -измеритель обнаруживает частицу, спиновое состояние которой имеет направление, противоположное измеренному E -измерителем , поэтому свойство (1 ) следует немедленно. Чтобы получить свойство (2 ), заметим, что для измеряемых направлений, образующих между собой углы в 120 °, если E -измеритель дает ответ ДА , то Р -направление расположено под углом 60 ° к тому спиновому состоянию, на которое действует Р -измеритель , а если E -измеритель дает ответ НЕТ , то Р -направление образует угол 120 ° с этим спиновым состоянием. С вероятностью 3 /4 = (1 /2 )(1 + cos60 °) измерения согласуются, и с вероятностью 1 /4 = (1 /2 )(1 + cos 120 °) они не согласуются. Таким образом, усредненная вероятность для трех настроек Р -измерителя при условии, что E -измеритель дает ответ ДА , составляет (1 /3 )(0 + 3 /4 + 3 /4 ) = 1 /2 для ответа ДА , даваемого Р -измерителем , и (1 /3 )(1 + 1 /4 + 1 /4 ) = 1 /2 для ответа НЕТ , даваемого Р -измерителем , т. е. результаты измерений, производимых Е - и Р -измерителями , равновероятно согласуются и не согласуются. Аналогичная ситуация возникает и в том случае, когда E -измеритель дает ответ НЕТ . Это и есть свойство (2 ) (см. Глава 6. «Спин и сфера Римана состояний»).
Замечательно, что свойства (1 ) и (2 ) не согласуются с любой локальной реалистической моделью (т. е. с любой разновидностью устройств рассматриваемого типа)! Предположим, что у нас есть такая модель, E -машину следует приготовить для каждого из возможных измерений А , В или С . Заметам, что если бы ее следовало готовить только дам получения вероятностного ответа, то P -машина (в соответствии со свойством (1 )) не могла бы достоверно давать результаты измерения, не согласующиеся с результатами измерения E -машины . Действительно, обе машины должны давать свои ответы, определенным образом приготовленные заранее, на каждое из трех возможных измерений. Предположим, например, что эти ответы должны быть ДА , ДА , ДА , соответственно, для настроек А , В , С ; тогда правая частица должна быть приготовлена так, чтобы давать ответы НЕТ , НЕТ , НЕТ при соответствующих трех настройках. Если же вместо этого приготовленные ответы левой частицы гласят: ДА , ДА , НЕТ , то ответами правой частицы должны быть НЕТ , НЕТ , ДА Все остальные случаи по существу аналогичны только что приведенным. Попытаемся теперь выяснить, согласуется ли это со свойством (2 ). Наборы ответов ДА , ДА , ДА / НЕТ , НЕТ , НЕТ не слишком многообещающи, так как дают 9 случаев несоответствия и 0 случаев соответствия при всех возможных парах настроек А /А ', А /В ', А /С ', В /А ' и т. д. А как обстоит дело с наборами ДА , ДА , НЕТ / НЕТ , НЕТ , ДА и тому подобными ответами? Они дают 5 случаев несоответствия и 4 случая соответствия. (Чтобы убедиться в правильности последнего утверждения, произведем подсчет случаев: Д /Н , Д /Н , Д /Д , Д /Н , Д /Н , Д /Д , Н /Н , Н /Н , Н /Д . Мы видим, что в 5 случаях ответы не согласуются и в 4 случаях согласуются.) Это уже гораздо ближе к тому, что требуется для свойства (2 ), но еще недостаточно хорошо, так как случаев несоответствия ответов должно быть столько же, сколько случаев соответствия! Для любой другой пары наборов возможных ответов, согласующихся со свойством (1 ), мы снова получили бы соотношение 5 к 4 (за исключением наборов НЕТ , НЕТ , НЕТ / ДА , ДА , ДА , дам которых соотношение было бы хуже — снова 9 к 0 ). Не существует набора приготовленных ответов, который могли бы дать квантово-механические вероятности. Локальные реалистические модели исключаются ![163]
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 305; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!