Проверка значимости коэффициента корреляции
Пусть известно, что проведены наблюдения для нормально распределенной двумерной характеристики (X;Y).
При 
между переменами отсутствует линейная корреляция.
Если оценка 
, то, так как число наблюдений ограничено, нельзя заключить, что коэффициент корреляции 
также отличен от нуля.
Тем самым требуется проверить, действительно ли величины X и Y линейно коррелированны или это вызвано случайными факторами.
Для этого при заданном уровне значимости 
проводится проверка гипотезы
,
.
При справедливости гипотезы 
статистический критерий
(13)
имеет распределение Стьюдента с 
степенями свободы.
Поэтому гипотеза 
отвергается, если
, (14)
а значения 
определяется по таблице 6.
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Пусть исходная информация задана таблицей наблюдений
| 
| 
| . . . | 
|
| 
| 
| . . . | 
|
Тогда
(2)
В основе метода наименьших квадратов лежит критерий минимизации суммы квадратов ошибок 
., т.е.
(3)
Пусть случайные ошибки измерений имеют нулевые математические ожидания, равные дисперсии и не коррелированны.
1) Линейная регрессия.
Пусть
(4)
где 
и 
- некоторые параметры. Тогда задача (2) имеет вид
|
|
|
(5)
Нахождение минимума функции двух переменных 
сводится к решению системы уравнений
(6)
или
Раскрыв скобки, и проведя преобразования, получим
систему
. (7)
Решая эту систему, найдем, что
- коэффициент линейной регрессии (8)
, а 
т.е. получим коэффициенты выборочного уравнения линейной регрессии.
Тем самым прямая линия, построенная по методу МНК, совпадает с выборочным уравнением линейной регрессии.
ЭЛЕМЕНТЫ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА
В результате исследования влияния коэффициента корреляции на вид зависимости между переменными получено, что чем ближе 
к единице, тем «теснее» расположены точки наблюдений относительно выборочного уравнения линейной регрессии
В этом случае выборочное уравнение линейной регрессии может считаться приближением функции регрессии 
.
|
|
|
Расположение точек наблюдения 
на плоскости называется диаграммой рассеянияиликорреляционным полем.
Если 
, то корреляционное поле может иметь вид:
Следовательно, 
говорит лишь об отсутствии линейной корреляционной зависимости между переменными, но не об отсутствии корреляционной зависимости между величинами.
Функция регрессии может быть нелинейной.
Основной задачей регрессионного анализа является установление вида регрессионной кривой.
В парной регрессионной модели считается, что взаимосвязь между переменными может быть описана уравнением
, (1)
где 
- случайная переменная, характеризующая отклонение от функции регрессии.
Для нахождения функции регрессии применяется метод наименьших квадратов (МНК-метод).
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 249; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!