Предельный переход и арифметические операции над пределами функций.
Арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами. В этом пункте покажем, что неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.
Теорема. Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b (xn ≤ b), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b).
Доказательство. Пусть все элементы xn, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b. Требуется доказать неравенство a ≥ b. Предположим, что a < b. Поскольку a - предел последовательности {xn}, то для положительного ε = b - a можно указать номер N такой, что при n ≥ N выполняется неравенство |xn - a| < b - a. Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам: -(b - a) < xn - a < b - a. Используя правое из этих неравенств, получим xn < b, а это противоречит условию теоремы. Случай xn ≤ b рассматривается аналогично. Теорема доказана
Арифметические операции:
Теорема о связи предела и бесконечно малой,
Для того, чтобы существовал
limx → x0 f(x) = A,
необходимо и достаточно, чтобы функцию f(x) можно было представить в виде
f(x) = A + α(x),
где α(x) — бесконечно малая функция при x → x0.
|
|
|
Первый замечательный предел.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции, связь между ними.
Непрерывность функции в точке, разные определения.
L0. Свойства функuий, непрерывных в точке.
Теорема 3 (ограниченность непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна в точке x0, то существует окрестность O(x0), в которой f(x) ограничена.
Доказательство следует из утверждения об ограниченности функции, имеющей предел.
Теорема 4 (устойчивость знака непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна в точке x0 и f(x0) ≠ 0, то существует окрестность точки x0, в которой f(x) ≠ 0, причем знак f(x) в этой окрестности совпадает со знаком f(x0).
Понятие элементарной функции.
Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:
Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения.
Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.
|
|
|
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 1121; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!