Структура турбулентного потока. Теория прандтля
Основной особенностью турбулентного потока является интенсивное перемешивание частиц жидкости. Отметим, что имеется в виду именно перемешивание частиц*2, а не молекул. Интенсивность перемешивания расчет с ростомRe.
Рассмотрим поток жидкости в прямолинейной цилиндрической трубе круглого сечения (осесимметричный поток). Структуру потока в трубе представим в виде приближенной двухслойной схемы (модели).
| На твердой стенке (внутренняя поверхность трубы) скорости равны нулю.
Вблизи твердой стенки находится очень тонкий слой  , в котором преимущественное значение имеют силы вязкого трения, рассчитываемые по закону Ньютона, и жидкость движется без перемешивания.
Эта область называется вязкий подслой*3 потока.
|
В пределах вязкого подслоя скорость линейно увеличивается от нуля на стенке до некоторого значения 
Толщина вязкого подслоя (без вывода) 
При увеличении Reтолщина вязкого подслоя уменьшается.
Возникновение дополнительных касательных напряжений.
Теория турбулентности Прандтля.
Теория турбулентности Л. Прандтля, предложенная в 1925 г., основана на том, что количество движения массы, переносимой в потоке за счет поперечной пульсационной составляющей скорости, остается неизменным на некотором пути, а затем изменяется скачком. Длина этого пути 
– так называемаядлина пути перемешивания4. Предполагается, что это расстояние моль жидкости проходит без взаимодействия с другими молями и сохраняя постоянным свое осредненное количество движения. После прохождения этого пути моль жидкости смешивается с жидкостью другого слоя, отдавая ей разницу количества движения.
|
|
|
| Рассмотрим простейший случай плоскопараллельного осредненного турбулентного потока. Так как поток принят плоскопараллельным, то очевидно  =0.
|
Покажем, что в таком потоке за счет пульсаций скоростей будет возникать дополнительное касательное напряжение, равное 
, где 
– осредненное значение произведения пульсаций скорости по осям.
Рассмотрим два соседних слоя жидкости, разделенных площадкой 
. Пусть вблизи верхней площадки имеют место пульсации скоростей 
и 
. В этом случае можно сказать, что верхний слой движется относительно нижнего с какой-то относительной скоростью 
.
Под действием вертикальной пульсации скорости 
через площадку за время 
протечет масса жидкости 
.
Верхнем слое эта масса приобретет ускорение в направлении оси 
. При ускорении этой поступающей снизу массы верхний слой затормаживается. Этот эффект торможения равносилен приложению к верхнему слою на поверхности раздела слоев по площадке не которой касательной силы инерции 
, направленной противоположно движению, или касательного напряжения 
. Эту силу можно легко подсчитать.
|
|
|
Изменение количества движения жидкости, прошедшей из нижнего слоя в верхний, будет 
.
Это изменение количества движения равно импульсу касательной силы
Знак минус поставлен потому, что сила инерции всегда направлена против ускорения.
Учитывая, что 
получим 
или осредненное за период :
.
Это и есть выражение для турбулентного касательного напряжения в функции от пульсационных скоростей.
Величина 
по закону независимости действия сил и напряжений должна быть добавлена к тому чисто вязкому напряжению, которое действует между слоями турбулентного в среднем установившегося потока
.
Общее уравнение касательного напряжения
Придадим уравнению для касательного напряжения такой вид, чтобы дополнительные напряжения 
были выражены не через пульсационные составляющие скорости, а через осредненные значения.
Рассмотрим два слоя жидкости. Первый слой движется со скоростью 
, второй находится от него на расстоянии и движется со скоростью 
. Для двумерных равномерных потоков скорость зависит только от 
, значит 
Пусть некоторая масса жидкости перенеслась из нижнего слоя в верхний благодаря вертикальному импульсу скорости. Смешиваясь со вторым слоем, эта масса приобретает его скорость. При этом в верхнем слое наблюдается пульсация скорости 
. Прандтль предположил, что величины 
и 
одного порядка, тогда 
.
|
|
|
Повторим: Прандтль предположил, что пульсации скорости в потоке по разным осям одного порядка и что величина этих пульсаций пропорциональна градиенту средней скорости.
Подставим выражения для пульсационных составляющих в формулу для касательного напряжения
здесь – длина пути перемешивания (см. теорию турбулентности Прандтля).
Величина 
приближенно пропорциональна средней скорости потока. При больших скоростях, в развитом турбулентном движении, второе слагаемое существенно больше первого, и первым можно пренебречь.
Вывод: при развитом турбулентном движении касательные напряжения растут пропорционально квадрату скорости (квадратичная область сопротивления).
Когда значение 
сопоставимы со значениями 
общее касательное напряжение зависит от средней скорости в степени меньше, чем вторая.
Распределение скоростей в круглой трубе при турбулентном режиме
На рисунке представлены эпюры скорости ламинарного и турбулентного потоков при одинаковых расходах в круглой трубе. Структура турбулентного потока – ламинарный пограничный слой (ламинарная пленка) толщиной 
, в котором скорость нарастает по мере удаления от стенки (парабола) и ядро потока, в котором скорость распределена по логарифмическому закону.
|
|
|
Выведем закон распределения скорости в круглой трубе для турбулентного ядра потока. Пренебрегаем напряжением от молекулярной вязкости, тогда инерционное касательное напряжение определится по формуле 
, где 
– длина пути перемешивания при переходе жидкости из оного слоя в другой.
Примем допущение: эта длина пропорциональна расстоянию от стенки (по Прандтлю) 
, где 
– коэффициент пропорциональности, определяемый из опыта.
или 
.
Введем новый параметр движения – «динамическую скорость» 
. По основному уравнению равномерного движения , справедливому и для турбулентного режима, 
. Тогда 
, имеет размерность скорости.
Отсюда 
Интегрируем 
. Следовательно скорость меняется по логарифмическому закону. Постоянную интегрирования найдем из условия 
при 
( в центре трубы).
.
После вычитания 
. Переходим к десятичным логарифмам и подставляем 
(для гладких труб, для шероховатых эта величина выше 0,435)
или 
.
Для нахождения средней скорости турбулентного потока можно воспользоваться эмпирическим соотношением 
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 2701; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!