Уравнение неразрывности для элементарной струйки и потока жидкости
Условие неразрывности потока основывается на законе сохранения вещества.
А также на следующих допущениях:
а) трубка тока имеет свойство непроницаемости для внешних, обтекающих ее потоков;
б) предположение о сплошности (неразрывности) среды для установившегося течения несжимаемой жидкости.
На этих основаниях можно утверждать, что объемный расход во всех сечениях элементарной струйки (см. рис.5.2) один и тот же.
Уравнение неразрывности для элементарной струйки (уравнение расхода для элементарной струйки).
δQ = V1 *δS1 = V2 *δS2 →const(вдоль струйки). (5.6) Уравнениенеразрывностидляпотока,ограниченного непроницаемыми стенками (уравнение расхода для потока).
Q = Vср1 *S1 = Vср2 *S2 →const(вдоль потока), (5.6’)
где Vср1 , Vср2 - средние скорости.
Из этого уравнения (5.6') следует, что средние скорости в потоке несжимаемой жидкости обратно пропорциональны площадям сечений:
Уравнение расхода (5.6‘) является следствием общего закона сохранения вещества при условии сплошности (неразрывности) течения.
Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости
Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости
Возьмем одну из элементарных струек, составляющих поток, выделим сечениями 1 и2 участок этой струйки произвольной длины. Пусть площадь первого сечения равнаδS1, скорость в немV1, давлениеP1, а высота от плоскости сравненияZ1. Во втором сеченииδS2, V2 , P2иZ2.
|
|
|
За бесконечно малый отрезок времени δtвыделенный участок струйки переместится в положение 1’ – 2’.
Используя формулировку теоремы, подсчитаем работу сил давления, сил тяжести и изменение кинетической энергии участка струйки за время δt:
(mV22)/2 - (m V12)/2 = G*( Z2- Z1) = G*h
Работа силы давления в первом сечении положительна (p1*δS1)*(V1δt)
Работа силы давления во втором сечении имеет знак минус - (p2*δS2) *(V2δt).
δA = (p1*δS1) *( V1δt)— (p2*δS2) *(V2δt).
Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии выделенного объема струйки.δG = ρ*g* V1*δS1*δt = ρ*g*V2*δS2*δt.
Тогда работа силы тяжести выразится как произведение разности высот на силу тяжести δG:(z1-z2) *δG.
Таким образом, приращение кинетической энергии на участке струйки равно
(V22- V12)* δG/(2g),
Сложив работу сил давления с работой силы тяжести и приравняв эту сумму приращению кинетической энергии (5.10), получим исходное уравнение для трех видов уравнения Бернулли.
(p1*δS1) *( V1δt)— (p2*δS2) *( V2δt) +(z1-z2) *δG=(V22- V21)* δG/(2g
Уравнение Бернулли для струйи вязкой жидкости, геометрическая и энергетическая интепретация его.
Для вывода уравнения Бернулли применительно к элементарной струйки вязкой жидкости рассмотрим его энергетический смысл. С этой целью подсчитаем механическую энергию бесконечно малой частицы массой dm с центром в т. А, находящейся в пределах элементарной струйки, относительно горизонтальной плоскости сравнения О1 – О1 (рис. 5.1)
|
|
|
Как известно, потенциальная энергия равна:
Кинетическая энергия:
Полная механическая энергия состоит из суммы кинетической и потенциальной энергий:
Отнесем энергию к единице веса жидкости, т.е. определим удельную энергию
Таким образом, получим выражение, которое является уравнением Бернулли и выражает закон сохранения энергии: вдоль элементарной струйки идеальной жидкости сумма потенциальной и кинетической энергии постоянная величина, т.е.
Сумма 
представляет собой потенциальную энергию, состоящую из удельной энергии положения z и удельной энергии давления 
. Выражение 
называется удельной кинетической энергией.
Вдоль элементарной струйки удельные кинетическая и потенциальная энергии могут изменяться, но их сумма остается постоянной.
При движении вязкой жидкости суммарная удельная энергия движущейся жидкости вдоль струйки убывает в силу различных гидравлических сопротивлений. Следовательно, для элементарной струйки вязкой жидкости, находящейся в установившемся движении:
|
|
|
Чтобы получить равенство левой и правой части, необходимо в правой части добавить дополнительный член hΣ, обозначающий затрату удельной энергии на преодоление сопротивлений при движении реальной вязкой жидкости в пределах между первым и вторым сечениями. В этом случае уравнение Бернулли принимает вид:
Затрачиваемая на преодоление гидравлических сопротивлений часть энергии превращается из механической в тепловую, причем необратимо. В связи с этим можно считать 
потерянной удельной энергией.
Рассмотрение энергетической и геометрической интерпретации уравнения Бернулли
С энергетической точки зрения уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии и представляет удельную энергию, отнесенную к единице веса жидкости и подсчитанную относительно произвольно выбранной горизонтальной плоскости. Такая удельная энергия потока состоит из удельной потенциальной энергии где z – энергия положения, - энергия давления, и удельной кинетической энергии потока 
. С теоретической точки зрения потери энергии 
на преодоление сопротивления безвозвратно теряются для потока, т.е. часть механической энергии превращается в тепловую.
|
|
|
С геометрической точки зрения в уравнение Бернулли входят следующие линейные величины:
Рис. 5.2
z – геометрическая высота положения (геометрический напор);
или 
пьезометрическая высота, отвечающая гидродинамическому давлению р;
в каждом сечении называется пьезометрическим (при р = ризб) или гидростатическим напором;
- скоростной напор;
0 – гидродинамический или полным напором;
- потеря напора на преодолении сопротивлений.
Геометрическое место точек верхних концов отрезка суммы называется пьезометрической линией Н (на рис.5.2 показана штриховкой). Изменение пьезометрической линии на единицу длинны поток называется пьезометрическим уклоном ip.
Геометрическое место точек верхних концов отрезков суммы 
называется напорной линией или линией удельной энергии Но (на рис.5.2 показана сплошной линией), которая для потока идеальной жидкости т.е. без потерь энергии, будет горизонтальной. При движении вязкой жидкости изменение напорной линии на единицу длинны потока называется гидравлическим уклоном 
.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 760; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!