Задачи с параметром, решаемые с помощью аналитического метода
Пример. Найти все значения параметра 
, для каждого из которых больший корень уравнения 
в пять раз больше, чем его меньший корень.
Решение. Рассмотрим данное уравнение как квадратное с переменной x. Из условия задачи следует, что это уравнение должно иметь два различных корня, что возможно в том и только в том случае, если дискриминант D уравнения положителен. Тогда:
Пусть 
и 
– соответственно меньший и больший корни уравнения.
Поскольку 
и 
,
то 
и 
.
По условию 
, отсюда следует,
что 
Ответ: 
Пример. Найти все значения параметра , при каждом из которых неравенство 
имеет единственный корень.
Решение. Сделаем замену переменной. Пусть 
. Неравенство примет вид 
. Поскольку 
при любом действительном значении переменной, задачу можно переформулировать так: найти все значения параметра , при каждом из которых неравенство имеет единственный положительный корень. Если это неравенство имеет корни 
, то их сумма равна 
, поскольку 
.
(здесь график), откуда 
.
Ответ: 
.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения
, если числа a, b, c, d, p, q таковы, что
Решение. Выражение есть квадрат расстояния между точками (a;b;c) и (-d; -p; q). Первая точка лежит на сфере с центром в начале координат и 
, а вторая точка лежит на сфере с тем же центром и 
.
Наибольшее расстояние: 
Наименьшее расстояние: 
Отсюда следует, что искомые значения равны 196 и 16.
|
|
|
Ответ: 196; 16.
Пример. Найдите все значения параметра , для каждого из которых уравнение 
имеет хотя бы один корень.
Решение. Заметим, что левая часть уравнения определена при любом действительном значении переменной, поскольку дискриминант квадратного трёхчлена в знаменателе дроби отрицателен и, следовательно, не обращается в нуль. Рассмотрим данное уравнение как уравнение второй степени с переменной x, приведя его к стандартному виду. Выполним необходимые преобразования:
( 
) ( 
( 
При 
уравнение принимает вид 0 
и не имеет корней.
При 
уравнение является квадратным и имеет хотя бы один корень в том и только в том случае, если его дискриминант D неотрицателен (или, что тоже, если 
). Поскольку
Тогда 
, получаем неравенство
, из которого с учётом условия находим, что 
Ответ: 
.
Пример.Найти наименьшее значение параметра , для которого существует хотя бы одна пара 
таких чисел 
что 
.
Решение.Рассмотрим данное неравенство как квадратное с переменной 
, переписав его в виде:
.
Так как коэффициент при второй степени переменной положителен, то квадратный трехчлен в левой части неравенства может принимать неположительные значения тогда, когда 
.
|
|
|
= 
.
Рассмотрим как квадратный трехчлен относительно 
. Так как коэффициент при второй степени этого трехчлена отрицателен, принимать неотрицательные значения он может в том случае, если 
.
Значит, 
; 
, и наименьшим возможным значением параметра является 
.
Ответ. .
Пример. При каких значениях параметра уравнение
Имеет ровно три различных корня? Найдите все возможные значения .
Решение. Для начала составим систему:
Возведём правую часть уравнения нашей системы в квадрат:
Тогда уравнение системы примет вид:
Поэтому преобразуем данное уравнение:
Сделаем группировку слагаемых:
Следовательно, получим два уравнения: 
и 
.
Решением первого уравнения является:
Решением второго уравнения является;
и 
и 
.
По условию задачи нам требуется три различных корня уравнения, поэтому, чтобы они не совпали, исключим:
и
Теперь найдём при каких эти три корня будут решением неравенства нашей системы:
При 
При
При
Ответ: 
Пример. Найти все значение параметра , при котором уравнение
имеет один корень на отрезке 
.
Решение. Сначала решаем данное уравнение:
|
|
|
Отсюда получаем два уравнения: 
и 
.
Из первого уравнения следует, что 
.
Теперь решим второе уравнение:
Теперь составим систему условий, которые обязательно должны выполняться:
Получаем:
Если 
– единственный корень; 
.
Если 
, то является решением, но тогда на промежутке будет два корня: 
.
В результате получаем, что 
является решением, когда:
1) 
2) 
3) 
.
Следовательно, если 
, то данное уравнение будет иметь одно решение на отрезке [0; 
].
Ответ: 
Пример. Найдите все значения параметра , при которых уравнение
имеет ровно два корня.
Решение. Пусть 
, тогда уравнение примет вид:
Выделим полный квадрат в левой части уравнения:
Составим систему: 
Следовательно, 
,
тогда 
Так как , тогда
, тогда
Сделаем замену: 
Если у нас получится два положительных корня, то всего у нас будет четыре корня, следовательно, мы не рассматриваем этот вариант. Тогда:
1) 
Тогда получаем, что 
.
Если , то 
.
2) 
Тогда получаем, что 
.
Если 
, то 
.
Ответ: 
, .
Пример. Найдите все значения , при которых система
имеет ровно четыре различных решения.
Решение. Рассмотрим второе уравнения данной системы:
|
|
|
Тогда система примет вид:
Сделаем замену:
и 
.
Получим, что:
Так как перестановка переменных в уравнении данной системы не влияет на решение этой системы, то если корнем является
то и 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
тоже являются корнями.
Необходимым условием для существования системы с четырьмя решениями является:
1) 
, тогда эти восемь корней попарно совпадут, в результате чего мы получим четыре корня, а именно: 
,
тогда
и 
.
Если , то 
, откуда 
.
Если 
, то 
, откуда 
.
Отсюда – необходимое условие для существования четырёх решений.
Значит, найдя нужные , сделаем проверку, подставив в систему корень (0; 1) и :
Также, если мы подставим другие корни (0; -1), (-1; 0), (1; 0), то увидим, что .
2) 
, тогда эти восемь корней попарно совпадут, в результате чего мы получим четыре корня, а именно: 
,
тогда
и 
.
Если , то , откуда .
Если 
, то , откуда .
Отсюда – необходимое условие для существования четырёх решений.
Значит, найдя нужные , сделаем проверку, подставив в систему корень (0; 1) и :
Также, если мы подставим другие корни (0; -1), (1; 0), (-1; 0), то увидим, что .
3) 
Пусть 
, тогда эти восемь корней попарно совпадут, в результате чего мы получим четыре корня, а именно: (q; q), (-q; q), (q; -q), (-q; -q).
Тогда
и 
.
Если , то 
, 
, 
, 
.
Если , то , , , .
Отсюда – необходимое условие для существования четырёх решений.
Значит, найдя нужные , cделаем проверку, подставив в систему корень (q; q) и .
Также, если мы подставим другие корни (-q; q), (q; -q), (-q; -q), то увидим, что .
Ответ: 
, .
Пример. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет решение, причем любой его корень находится в промежутке [1; 2].
Решение.Рассмотрим правую часть данного уравнения как 
, а затем вынесем минус перед знаком логарифма:
1) При 
график 
возрастает, график 
возрастает.
График 
возрастает.
График 
– постоянная функция и, следовательно, исходное уравнение имеет единственное решение. Значит, это решение должно находиться в промежутке 
= 
= 
Составим систему:
а) 
и 
б) 
, так как 
, так как
|
|
|
рис.2
.
2) При 
График убывает.
График – постоянная функция и, следовательно, исходное уравнение имеет единственное решение. Значит, это решение должно находиться в промежутке 
а) 
, так как
, так как
б) 
и
|
| 0 |
| 1 |
|
|
рис.3
Ответ: 
Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 1151; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!