Сравнительный анализ задач с параметром демоверсий ЕГЭ по математике ФИПИ с вариантами досрочного и основного этапа ЕГЭ

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 4Следующая ⇒

Задача с параметром в демоверсии Федерального института педагогических измерений 2017 года выглядит следующим образом:

Найдите все положительные значения , при каждом из которых система

имеет единственное решение. [16]

Такая же задача представлена в демоверсиях ФИПИ 2016 и 2015 годов.

В демоверсии ФИПИ как 2014 года, так и 2013 года задача с параметром представлена так:

Найдите все значения , при каждом из которых наименьшее значение функции f (x) = 2ax + больше 1. [16]

В вариантах досрочного периода ЕГЭ по математике встречались следующие задачи с параметром:

В 2017 году –

Найдите все значения параметра , при каждом из которых система неравенств

имеет хотя бы одно решение на отрезке [15]

В 2016 году –

Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения. [15]

В 2015 году –

Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение. [15]

В 2014 году –

Найдите все значения , при которых уравнение

2 = имеет единственное решение. [15]

В 2013 году –

Найдите все значения , для каждого из которых уравнение

имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [-1;1). [15]

Варианты основного этапа ЕГЭ по математике содержали следующие задачи с параметром:

В 2017 году –

Найдите все значения , при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень на отрезке . [15]

В 2016 году –

Найдите все значения , при каждом из которых уравнение

= имеет ровно три различных значения. [15]

В 2015 году –

Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений

имеет более двух решений. [15]

В 2014 году –

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение

имеет ровно два решения. [15]

В 2013 году –

Найдите все значения , при каждом из которых уравнение

= имеет единственный корень. [15]

Рассмотрев и сравнив вышеизложенные задачи с параметром из вариантов демоверсий ФИПИ, досрочного и основного этапа ЕГЭ за последние пять лет можно сделать выводы о том, что задачи с параметром демоверсий ФИПИ во всех случаях совпадают с задачами досрочного и основного этапа ЕГЭ и относятся к первому типу, описанному нами выше.

Поскольку были рассмотрены единичные варианты основного этапа ЕГЭ, не исключено, что в них встречались также и задачи с параметром второго типа.

Это позволяет сделать вывод о том, что для успешного выполнения задач с параметром на ЕГЭ, учащиеся должны уметь решать данные задачи различных типов и видов, а не бездумно запоминать типовые.

Основные методы решения задач с параметром

Традиционно для решения задач с параметрами используются аналитический и графический методы. [5]

Аналитический метод

Аналитический метод является не только самостоятельным методом решения задач, но и обязательной составной частью всех остальных методов. Основной частью аналитического метода решения задач является метод эквивалентных или равносильных преобразований. Предлагаемый подход к решению уравнений и неравенств с параметрами, их систем или совокупностей основан на замене одного математического высказывания другим равносильным математическим высказыванием. Задача рассматривается как некоторое логическое высказывание, область истинности которого предстоит установить в результате его рассмотрения. При этом исходное условие рядом равносильных преобразований или преобразований следствий приводится к совокупности простейших логических утверждений, истинность или ложность которых считается установленной.

В аналитическом методе решения задач чаще всего используется приём дробления – разделение условия задачи на совокупность более простых условий. Так, условие задачи, содержащие выражения, стоящие под знаками модуля, обычно разделяют на совокупность более простых условий, не содержащих модуль. [10, стр.61]

Рассмотрим решение задачи с параметром из типовых экзаменационных вариантов по математике аналитическим способом:

Пример. При каждом значении параметра решить неравенство

Решение. Данное неравенство является линейным относительно переменной x.

Раскроем скобки , перегруппируем слагаемые и приведём его к стандартному виду: ( ). Корнями квадратного трёхчлена в левой части полученного неравенства являются числа

и , поэтому, разложив этот трёхчлен на линейные множители, придём к неравенству ( .

Коэффициент при переменной в левой части неравенства в зависимости от значений параметра может быть равен нулю, положителен или отрицателен.

Рассмотрим все возможные случаи.

Если , неравенство принимает вид 0 и выполняется при любом значении переменной x.

Если , неравенство принимает вид 0 и не выполняется ни при каких значениях x.

Если ( )( ) , т.е. , то, разделив обе части неравенства на положительное число ( и сократив дробь в правой части, получим , т.е. .

Если ( , т.е. , то, разделив обе части неравенства на отрицательное число ( и сократив дробь в правой части, получим , т.е. .

Ответ: при ; ( ) при ; ( при ; нет решений при .

Графический метод

Любая задача с параметрами есть задача как минимум с двумя переменными – аргументом и параметром. Следовательно, решение задачи - упорядоченный набор их значений, может рассматриваться как координаты точки некоторого евклидова пространства.[10, стр.62]

Учитывая роль параметра в задаче, выделяют два основных графических приема: первый – построение графического образа на координатной плоскости Oxy, второй – на координатной плоскости Oxa.

Первый прием заключается в том, что исходное уравнение (или неравенство) преобразуют к виду На плоскости Oxy строится график функции . Функция задает определенное семейство кривых, зависящих от параметра . Кривые этого семейства получаются из кривой с помощью некоторого элементарного преобразования (параллельного переноса вдоль осей, растяжения, наложения модуля или в случае линейной зависимости между x и - поворота относительно некоторой точки). Построив графический образ уравнения можно установить, сколько точек пересечения имеют графики функций и , - это определяет количество корней уравнения , а, следовательно, и исходного уравнения в зависимости от значения параметра. Так же для неравенства можно выяснить, что представляет собой множество его решений.[11, стр.55]

Используя второй прием, исходное уравнение (или неравенство) преобразуют к виду (или ). На плоскости Oxa строят график функции , а далее, пересекая полученный график прямыми, параллельными оси , получают необходимую информацию.

Подобные приемы используют и в случае систем:

уравнений

неравенств

уравнения и неравенства

Для этого строят графический образ системы и интерпретируют его в зависимости от значения параметра и условий задачи. [11, стр.56]

Рассмотренный метод лучше всего работает, если условие задачи содержит вопрос о количестве корней в зависимости от значений параметра или определения значений параметра, при которых решение отсутствует или единственно.

Пример. Найти все значения параметра , при каждом из которых система неравенств имеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждого значения .

Решение. Приведём данную систему к виду

и построим в системе координат Oxa графики функций (прямая, проходящая через точки (4;0) и (3;12)), (парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (2; -16), пересекающая ось абсцисс в точках (0;0) и (4;0)), (прямая, проходящая через точки (0;0) и (3;12)). Множество всех точек (x;a) плоскости Oxa, удовлетворяющих данной системе, покажем штриховкой. Для записи ответа будем рассматривать различные положения считывающей прямой.

При или считывающая прямая не имеет с заштрихованной областью ни одной общей точки.

При считывающая прямая имеет с заштрихованной областью единственную общую точку – вершину параболы (т.е. решением данной системы является , при эта прямая имеет с заштрихованной областью также единственную общую точку – точку пересечения прямых и (т.е. решением данной системы является ).

При считывающая прямая пересекает заштрихованную область по отрезку, концы которого лежат на параболе В этом случае левый конец отрезка является меньшим корнем уравнения (этот корень равен ), а правый – большим корнем этого уравнения (он равен ).

При считывающая прямая пересекает заштрихованную область по отрезку, левый конец которого лежит на прямой (и, значит, ), а правый – на прямой (и, значит, ).