Однородные уравнения первого порядка

Однородное уравнение можно представить в виде: y'(x)=φ(y/x) (1)

, где φ - некоторая функция. Например: : y'(x)=2+y/x .

Для его решения вводим дополнительную неизвестную функцию u(x), связанную с у(х) соотношением у(х)=u(x)*х. Делается это потому, что уравнение для u(x) оказывается более простым (уравнением с разделяющимися переменными).

Для получения этого уравнения подставляем в (1) вместо у выражение u*x.

Получим:

(u(x)*x)'=φ((ux)/x) --> u'*x+u*x'= φ(u) --> u'*x= φ(u) — u*1 -->

u'/(φ(u) — u)=1/x (2)

ДУ (2) — уравнение с разделяющимися переменными (все u -слева, х - справа).

Находим u(x) и затем получаем формулу для y(x): у = u(x)*х.

Примеры

1) xy'=x+2y

Решение. Делим уравнение на х. ---> y'=1+2y/x ---> Представляем у в виде: y=u(x)x. Подставляем u*x вместо у в уравнение. ---> Получаем (ux)' = 1+2u ---> u'*x+u*x'=1+2u ---> u'*x+u*x'=1+2u --->

u'*x =1+u (т.к. х'=1) ---> u'/(1+u) =1/x (делим обе части уравнения на x*(1+u))

Получаем уравнение с разделяющимися переменными для u(x). Решаем его/

(1/(1+u))du=(1/x)dx ---> ∫1/(1+u)du=∫(1/x)dx ---> ln|1+u| = ln|x| +C = ln|x| +ln|C₁ |= ln|xC₁ | ---> ln|1+u| = ln|xC₁| ---> Из равенства логарифмов следует равенство их аргументов:

|1+u| = |xC₁| ---> 1+u = ±|C₁| x = C₂x ---> u(x)= C₂x -1 .

Далее находим y(x)=u*x= (C₂x -1)*x

Ответ: y(x) = (C₂x -1)*x

--> 1-u²=C₁/x; u(x)=±√(1-C₁/x);

Ответ: y(x)=xu=)=±x√(1-C₁/x);

( или x²-2y²+2xyy'=0 Делим на х²: 1-2(y/x)² +2(y/x)y'=0 - однородн. уравн.)

--> -y²/x²=ln(x/C) Ответ: y/x=±√(-ln(x/C)) = ±√(ln(C/x))

Упражнения.

Ответ:

Ответ: ху=С и y=C/x

* * *

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной: y'(x) + P(x)y(x) = Q(x) (1)

Например: y'(x) + x*y(x) = 3 .

Решение:

- Мы ищем неизвестную функцию у(х), вводя две новые неизвестные функции u(x) и v(x), с помощью соотношения: y=u*v. (2)

- Мы требуем, чтобы v(x) удовлетворяло уравнению : v'(x) + P(x)v(x) =0 (3)

которое является уравнением с разделяющимися переменными.

Находим v(x), решая уравнение с разделяющимися переменными (3).

(Подчеркнем, что нам не нужно общее решение уравнения (3), а одно конкретное решение.

Например, вместо выражения v=2x+C далее используем v=2x, или вместо v=Cx - формулу v=x).

- Можно показать, что тогда функция u(x) удовлетворяет уравнению: u'*v=Q (4)

, которое также является уравнением с разделяющимися переменными

(действительно, если подставить y=u*v в уравнение (1), то, с учетом (3), получим: u'v=Q ) .

Представляем (4) в виде: u'=Q(x)/v(x) (5) ( где v(x) — найдено ранее).

Находим u(x):

- Затем находим y(x): y=uv

Суммируем алгоритм решения:

1) Приводим заданное уравнение к виду y'(x) + P(x)y(x) = Q(x)

2) Составляем и решаем уравнение v'(x) + P(x)v(x) =0

3) Составляем уравнение u'v=Q и находим из него u(x)

4) Находим у(х) по формуле у=u*v

Примеры с решениями.

1) y'+3y=2;

1-й шаг. v'+3v=0; v'/v= - 3; ∫1/vdv = ∫-3dx; ln|v|=-3x+C;

v=±e^-3x+C; v=± e^-3xe^C; v=C₁e^-3x , где C₁ = ± e^C; v=e^-3x

В выше приведенных выкладках почти до конца сохранена постоянная С и знак +-(с целью упражнения). Однако, следует подчеркнуть, что при нахождении v нам нужно только одно решение и , поэтому, в ln|v|=-3x+C следует сразу же положить С=0. Таким образом должно быть: ln|v|= - 3x; v=+- e^-3x; v=e^-3x

2-й шаг. u'v=2 --> u'e^-3^x=2 --> u '=2/e^-3^x --> u'=2e³^x --> u= (2/3)e³^x +C;

3-й шаг. y=u*v= ((2/3)e³^x +C)*e^-3^x= 2/3e³^xe^-3^x+ C*e^-3^x--> y= 2/3+ C*e^-3^x

v' +3v = 0 --> dv/v = -3dx --> ln|v| = - 3x + ln|C₁| --> v = ∫C₁e^-3x = C e^-3x

u' =Q/v = e^2x / e^-3x= e^5x --> u=1/5*e^5x + C y=uv -->

Ответ:

(Т.е. u — решение однородного уравнения с 0 в правой части , выше оно обозначалось через v).

Тогда:

--->

Следовательно:

y' - 2/(2x+1) = 4x/(2x+1) - это линейное уравнение 1-го порядка

Сначала решим однородное уравнение с правой частью, равной нулю.

Выбираем решение с С=1: y=2x+1 .

Тогда v'=4x/(2x+1)²

v(x)=

Окончательно: y(x) =

Упражнения.

3) Ответ: у= х³+Cexp(x²)

* * *

Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

y''(x) + p*y'(x) + q*y(x) =0 (1)

где p,q - числа. Например: y''(x) + 3*y'(x) + 2*y(x) =0

Уравнение называется однородным, если в правой части уравнения - ноль, и неоднородным, если в правой части - функция f(x),отличная от 0.

Уравнение (1) имеет два линейно независимых решения : y1(x) и y2(x).

(Функции y1(x) и y2(x), неравные нулю тождественно, называются линейно независимыми, если C1*y1(x)+C2*y2(x) ≡0 тождественно равно нулю тогда и только тогда, когда С1=С2=0).

Общее решение (1) имеет вид: y(x) = C1*y1(x)+C2*y2(x).

Решение. Будем искать решение в виде: y=e^kx, где k - неизвестная постоянная. Подставив y=e^kx в (1), получим: e^kx(k²+pk+q)=0. Отсюда:

k²+pk+q=0 - квадратное уравнение для определения k

(оно называется характеристическим для уравнения (1)).

Корни этого алгебраического уравнения можно найти по формулам:

k1= -p/2 + √(p²/4-q) ; k2= -p/2 - √(p²/4-q) (2)

Эти формулы дают значения корней уравнения (1), в котором множитель при k² равен 1.

В общем случае уравнения ak²+bk+c=0 имеем D= b²-4ac и:

k1= [-b + √(b²-4ac)]/(2a) ; k2=[-b - √(b²-4ac)]/(2a) (3)

Линейно независимые решения ДУ y1(x) и y2(x) строятся описанным ниже образом..

Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 321; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 5 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!