Схема исследования и построения графика функции
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность-нечётность.
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
4. Отыскать асимптоты графика функции.
5. Найти интервалы монотонности и точки экстремума.
6. Найти интервалы выпуклости-вогнутости графика функции и точки перегиба.
7. Построить график, учитывая проведенные выше исследования и, если необходимо, вычисляя значения функции в дополнительных точках.
Остановимсяподробнее на 5 и 7 пунктах.
Определение 6. Прямая линия 
называется асимптотой графика функции 
, если расстояние от точки 
, лежащей на графике, до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).
Асимптоты делятся на вертикальные, горизонтальные и наклонные.
1) нахождение вертикальных асимптот: прямая 
является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений 
или 
равно 
или 
. Вертикальные асимптоты существуют в точках разрыва функции либо на границе области определения функции.
2) нахождение горизонтальных асимптот: прямая 
является горизонтальной асимптотой графика функции , если 
или 
.
3) нахождение наклонных асимптот:
а) прямая 
является наклонной асимптотой графика функции при 
, если одновременно существуют пределы: 
, 
;
б) прямая 
является наклонной асимптотой графика функции при 
, если одновременно существуют пределы 
, 
.
Исследование графика функции на выпуклость и вогнутость (выпуклость вверх-вниз) производится аналогично изучению монотонности и точек экстремума только с применением второй производной.
Определение 7.График функции 
называется выпуклым вверх (вниз) на промежутке 
, если он расположен выше (ниже) любой касательной к графику функции, проведенной в любой точке этого промежутка.
Достаточным условием выпуклости вверх (вниз) графика функции является следующая теорема: если функция имеет на интервале 
вторую производную и 
( 
) на , то график функции имеет на интервале выпуклость вверх (вниз).
Пример. Определим интервалы выпуклости-вогнутости графика функции 
.
Область определения функции – множество всех действительных чисел 
. Вторая производная функции равна 
. Находим критические точки второго рода (точки, в которых вторая производная обращается в ноль или не существует): 
. Разбиваем область определения функции на интервалы критическими точками второго рода и методом пробных точек исследуем знаки второй производной на каждом из интервалов.
Рис. 1
Функция выпукла вверх при 
, выпукла вниз при 
.
Определение 8.Если в точке 
график функции имеет касательную и при переходе через неё выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, то точка называется точкой перегиба.
Необходимым условием точки перегиба является следующая теорема: если функция имеет в точке 
непрерывную вторую производную и в точке есть перегиб графика этой функции, тогда 
.
Достаточное условие точки перегиба имеет вид: пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки и при переходе через точку слева направо производная 
меняет знак, тогда график функции имеет перегиб в точке .
Таким образом, точки перегиба следует искать среди точек области определения, в которых вторая производная обращается в ноль. При переходе через точку перегиба вторая производная обязана сменить знак.
Пример.Определим точки перегиба функции . Вторая производная обращается в ноль при . Функция имеет вторую производную в окрестности точки и при переходе через неё меняет свой знак. Следовательно, - точка перегиба графика функции .
Пример. Исследуем и построим график функции 
.
1. Область определения функции: 
.
2. Функция нечётная, так как 
.
3. Точки пересечения с осью 
ищем из уравнения 
или 
. Последнее уравнение не имеет корней, поэтому точек пересечения с осью нет. График функции не имеет пересечений и с осью 
, так как .
4. Асимптоты:
1) вертикальные: точкой разрыва графика функции является 
. 
, следовательно, прямая является вертикальной асимптотой.
2) горизонтальные: 
. Следовательно, горизонтальных асимптот нет.
3) наклонные:
а) 
, 
;
, 
.
Следовательно, прямая 
- наклонная асимптота при .
б) Аналогично, прямая - наклонная асимптота при .
5. Исследуем функцию на монотонность и точки экстремума. Производная функции равна 
. Производная обращается в ноль в точках 
.
 |
Рис. 2
Функция возрастает при 
и 
, убывает при 
и 
. Точка 
является точкой минимума, 
; 
является точкой максимума, 
.
6. Проведем изучение промежутков выпуклости вверх-вниз функции и точек перегиба. Вторая производная функции равна 
. Вторая производная не обращается в ноль.
 |
Рис. 3
Функция выпукла вверх при 
, выпукла вниз при 
. Точек перегиба нет.
7. Построим график функции, учитывая проведённые выше исследования и вычисляя значения функции в дополнительных точках.
| 0,5 | -0,5 | 2 | -2 |
| 2,5 | -2,5 | 2,5 | 2,5 |
Рис. 4
Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 240; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!