Правила вычисления пределов последовательностей и функций

1.Подставить бесконечность вместо или предельное значение вместо в выражение, стоящее за знаком предела.

Например, ,.

Важно, что , где - любое число.

Если в результате подстановки получилось число или , то это ответ. Очень часто после подстановки получаются неопределенности вида , , , , .

2.Если получилась неопределённость вида , то можно:

а) разделить числитель и знаменатель дроби на старший член (на наивысшую степень или на наибольшее число в степени).

Примеры:1)

Вывод: Если под знаком предела стоит дробь, в числителе и знаменателе которой многочлены одинаковых степеней, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях.

2) ;

3) ;

;

5) ;

б) воспользоваться правилом Лопиталя: .

Пример: .

3. Если получилась неопределённость вида , то можно:

а) сократить на выражение , которое стремится к нулю.

Примеры:1);

2).

б) бесконечно малый множитель заменить на эквивалентный: при , , , , , , где , , , .

Пример: .

в) воспользоваться правилом Лопиталя: .

Пример: .

г) домножить и разделить на сопряжённое, если выражение, стоящее за знаком предела, имеет корни.

Пример:

4.Если получились неопределённости вида или , то их нужно свести к неопределённостям или .

Примеры:1) ;

5.Если получилась неопределённость вида , то нужно использовать второй замечательный предел: , , .

Примеры: 1) ;

2) ;

;

4) .

Тема 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Дифференциальное исчисление занимается изучением и приложениями производных. Рассмотрим основные моменты этого раздела сначала применительно к функциям одной переменной, а затем - к функциям нескольких переменных.

I. Функции от одной переменной.

Определение 4.Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в точке к приращению аргумента при стремящемся к нулю, если этот предел существует. Производная функции в точке обозначается :

Производную функции в точке обозначают , , или .

Необходимым условием существования производной функции в заданной точке является непрерывность функции в этой точке (функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности данной точки и ). Обратное утверждение является неверным. Например, функция непрерывна на промежутке , но в точке производной не имеет.

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Функция, имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой на этом интервале.