Интервальные оценки параметров распределения
До этого мы рассматривали вопросы об оценке параметра 
одним числом. Такая оценка называлась точечной. В ряде задач требуется найти для неизвестного параметра не только подходящее значение, но и оценить его точность и надёжность.
Доверительным интервалом для параметра называется интервал 
, в котором с заранее заданной вероятностью содержится истинное значение этого параметра.
,
где 
доверительная вероятность или надёжность.
Смысл доверительного интервала состоит в том, что при многократном повторении выборки объёма n в относительной доле случаев, равной 
, доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности , накрывает истинное значение оцениваемого параметра. Таким образом, чем больше , тем вероятнее, что реализация доверительного интервала содержит неизвестный параметр. Однако с ростом доверительной вероятности в среднем растёт длина доверительного интервала, то есть уменьшается точность доверительного оценивания. Выбор доверительной вероятности определяется конкретными условиями, обычно используются значения , равные 0,90; 0,95; 0,99; 0,999.
Вероятность
называется уровнем значимости и характеризует относительное число ошибочных заключений в общем числе заключений.
Пусть для параметра на основании выборочных данных получена несмещённая оценка 
. Найдём такое положительное значение 
, для которого событие 
с вероятностью можно считать достоверным.
,
,
.
Интервал 
называется доверительным, 
погрешность (точность) доверительного интервала, 
.
Для доверительного интервала вида 
справедливы следующие соотношения:
,
.
Общая схема построения доверительных интервалов
1. Из генеральной совокупности случайной величины X с известным распределением 
извлекается выборка объёма n, по которой находится точечная оценка параметра .
2. Строится новая случайная величина 
, связанная с параметром и имеющая известную плотность вероятности 
. Построение случайной величины и подбор соответствующего (или близкого) типа распределения для неё определяется свойствами точечной оценки (как случайной величины).
3. Задаётся уровень значимости 
, что соответствует надёжности 
.
4. Используя плотность распределения случайной величины , определяются два числа 
и 
так, чтобы 
. Значения и определяются, как правило, из условий 
.
Эти значения определяются по таблицам как квантили распределения случайной величины . Используя связь случайных величин и 
, неравенство 
преобразуют в равносильное неравенство такое, что 
. Полученный интервал , содержащий неизвестный параметр с вероятностью , является интервальной оценкой параметра . Положительное число характеризует точность оценки.
Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 192; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!