Задачи для самостоятельного решения
1. Доказать следующие соотношения для дивергенции сложной функции:
(134)
2.Вычислить градиент функции .Здесьаи b– постоянные векторы.
3.Вычислить градиент функции ,гдер –постоянный вектор.
4.Вычислить ротор вектора ,гдеа – постоянный вектор.
5.Преобразовать интеграл по замкнутой поверхности (b –постоянный вектор, n –орт нормали к поверхности) в интеграл по объему.
6.Вычислить интеграл по замкнутой поверхности , гдеа –постоянный вектор, n –орт нормали к поверхности.
7.Доказать, что интеграл ,если внутри объема V вектора удовлетворяет условию diva= 0, а на границе объема – условию an=0.
8.Доказать следующую формулу векторного анализа:
9.Доказать тождество .
10. Преобразовать интеграл по объему в интеграл по поверхности.
Криволинейные координаты.
Координатные поверхности и криволинейные координаты.
Когда поля обладают определенной симметрией, удобно использовать соответствующие криволинейные системы координат. Например, в случае сферической симметрии целесообразно использовать сферическую систему координат. Будем обозначать криволинейные координаты точки какq1,q2,q3. Между этими координатами и декартовыми координатами x1,x2,x3 предполагается взаимно однозначное соответствие, определяемое следующими формулами
x1=x1(q1,q2,q3), x2=x2(q1,q2,q3), x3=x3(q1,q2,q3) (135)
Три поверхности
qi=qi(x1,x2,x3)=Ci(136)
называется координатными поверхностями, а линии пересечения двух координатных поверхностей называются координатными линиями. В силу определения (136) вдоль координатной линии две координаты qi сохраняют постоянные значения. Таким образом, вдоль координатной линии изменяется только одна координата. Орты криволинейной системы координат е1, е2,е3 в каждой точке направляют вдоль касательных к соответствующим координатным линиям в сторону возрастания переменных. Мы будем здесь рассматривать только ортогональные системы координат, в которых орты е1, е2,е3 являются взаимно перпендикулярными. Единичные векторы е1, е2,е3 берутся в таком порядке, чтобы их совокупность образовывала правую тройку векторов. Коренное отличие криволинейны координат от декартовых заключается в том, что орты е1, е2,е3, вообще говоря, изменяют свои направления при переходе от одной точки пространства к другой. Данные обстоятельство необходимо учитывать, в частности, при дифференцировании выражений , содержащих орты е1, е2,е3.
|
|
В цилиндрической системе координат
, ,
Координатными поверхностями являются следующие поверхности
, , (137)
Координатными линиями являются окружности с центром на оси z, лучи, перпендикулярные к оси z и начинающиеся на этой оси, и прямые, параллельные оси z. Координатные линии и орты координатных осей изображены на рис. Видно, что векторы образуют правую тройку.
|
|
Коэффициенты Ламе
В декартовых координатах малое приращение радиус-вектора определяется формулой
(138)
В произвольных координатах
(139)
Частная производная вычисляется как предел отношения при перемещении конца радиус-вектора rвдоль координатной линии qi. . Из рисунка, на котором в указанном направлении вдоль кривой монотонно растет qi ,видно, что при уменьшении ∆qi и соответствующем уменьшении ∆rвектор ∆rприближается к касательной к координатной линии qi и направлен в сторону увеличения qi. Следовательно, вектор будет направлен по касательной к координатной линии qi , а его направление совпадает с направлением орта еi. Поэтому можно записать .(140)
Три величины h1,h2,h3 называются коэффициентами
Ламэ. Они представляют собой, очевидно,
модули векторов
, , .
Найдем соотношение, позволяющее вычислять коэффициенты Ламэ. Из формулы (140) находим
(141)
|
|
Отсюда получим искомое выражение
(142)
В цилиндрической системе координат ( ) из формулы (142) находим
h1=1, h2=r, h3=1 .(143)
В сферической системе координат (q1=r, q2=θ, q3=φ)
x=rsinθcosφ, y=rsinθ sin φ, z=r cos φ.(144)
Поэтому для сферической системы координат
h1=1, h2=r, h3=rsinθ. (145)
Используя формулы (139),(140), имеем
. (146)
Отсюда находим квадрат элементарной длины
(147)
Определим элементарный параллелепипед в данной области поля. Для этой цели из данной точки поля в направлении е1 отложим вектор в направлении е2 –вектор , в направлении е3–вектор ,построим на этих векторах бесконечно малый параллелепипед. Площади граней этого параллелепипеда равны
, , (148)
Здесь dS1 –площадь грани, перпендикулярной к вектору е1, и т .д. Объем параллелепипеда, очевидно, равен
(149)
Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 673; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!