Неопределенный интеграл. Методы вычисления. Свойства
Неопределенный интеграл
Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается 
.
Выражение 
называют подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).
Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.
Свойства
На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).
Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.
Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.
, где k – произвольная константа.
Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.
Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.
Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения.
Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:
Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.
|
|
|
Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь:
первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно;
второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.
Методы
Непосредственное интегрирование.
Основным методом нахождения первообразной функции является непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных и свойств неопределенного интеграла. Все другие методы используются лишь для приведения исходного интеграла к табличному виду.
Пример.
Найдите множество первообразных функции 
.
Решение.
Запишем функцию в виде 
.
Так как интеграл суммы функций равен сумме интегралов, то
Числовой коэффициент можно вынести за знак интеграла:
|
|
|
Первый из интегралов приведен к табличному виду, поэтому из таблицы первообразных для показательной функции имеем 
.
Для нахождения второго интеграла 
воспользуемся таблицей первообразных для степенной функции 
и правилом 
. То есть, 
.
Следовательно,
где 
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 422; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!