Бесконечно – малые и бесконечно – большие функции и их связь

 

Непрерывность функции, точки разрыва. Основные теоремы о непрерывных функциях

Непрерывность функции, точки разрыва

Определение. Функции f(x), непрерывна в точке , если Графически же непрерывность функции y = f(x) означает непрерывность ее графика как линии на плоскости Oxy. Имеет место следующая теорема (критерий непрерывности). Теорема. Функция f(x), непрерывна в точке тогда и только тогда, когда Как видно из рис. 13, в точке x0 разрыва функции f(x) ее левая "половина графика" не соединяется с "правой половиной", т.е. график "разорвался", а поэтому f(x) в точке x0 имеет разрыв.

Производная. Производная сложной функции. Производные высших порядков

Производная функция - базовый элемент дифференциального исчисления, который является результатом применения какой-либо операции дифференцирования к исходной функции.

Название функции происходит от слова «произведенная», т.е. образованная от другой величины. Процесс определения производной какой-либо функции называется дифференцированием. Распространенный способ представления и определения - через теорию пределов, хотя она возникла позже дифференциального исчисления. Согласно этой теории производная - это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если такой предел существует, при условии, что аргумент стремится к нулю. Считается, что впервые термин «производная» употребил известный русский математик В.И.Висковатов.Чтобы найти производную функции f в точке x, необходимо определить значения этой функции в точке х и в точке x+ x, где x – приращение аргумента х. Найти приращение функции y = f(x+ x) – f(x). Записать производную через предел отношения f’ = lim(f(x+ x) – f(x))/ x, вычислить при x 0. Принято обозначать производную знаком апостроф «’» над дифференцируемой функцией. Один апостроф – первая производная, два – вторая, производная высшего порядка задается соответствующей цифрой, например, f^(n) – производная n-го порядка, где n – целое число 0.

 

Производные высших порядков

Пусть функция y = f(x) имеет производную y' = f'(x) во всех точках некоторой окрестности точки x₀. Если функция f'(x) в свою очередь имеет в точке x₀ производную , то она называется второй производной функции f в точке x₀ и обозначается f"(x₀) или f⁽²⁾(x₀). Таким образом, опуская обозначения аргумента, имеем

y⁽²⁾ y" (y')'.

Аналогично определяются и производные y⁽ⁿ⁾ более высоких порядков n:

y(n+1) = [y(n)]', n = 0, 1, 2, ...,

где для удобства считается, что y⁽⁰⁾ = y.

 Примеры.
1. Если y = a^x, a > 0, то y' = a^x ln a, y" = a^x ln² a, вообще, y⁽ⁿ⁾ = a^x lnⁿ a, n = 0, 1, 2, ... В частности, если y = e^x, то

(ex)(n) = ex.

2. Если y = sin x, y' = cos x, y⁽²⁾ = -sin x, y⁽³⁾ = -cos x, y⁽⁴⁾ = sin x. Заметив, что cos x = sin (x + /2), получим

y' = sin(x + /2), y⁽²⁾ = cos (x + /2) = sin(x + 2 /2).

Вообще,

sin(x)(n) = sin(x + n /2).

Аналогично,

cos(x)(n) = cos(x + n /2), n = 0, 1, 2, ..

 

---

Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 622; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!