Формула полной вероятности и формула Байеса.
Классическое и статистическое определение вероятности.
Основным понятием ТВ является событие. Событие – это есть всякий факт или явление, которое может произойти в данном эксперименте или при данных условиях. Все явления рассматриваются в двух условиях:
1. детерминированные
2. стохастические
события бывают: 1) достоверные, которые в данных условиях или эксперименте обязательно наступают; 2) невозможное, которое в данных условиях произойти не может; 3) случайное, которое может произойти, а может не произойти.
Обозначают буквами А и В.
Событие А и В называют совместными если наступление одного не исключает появление другого. А и В несовместные если появление одного из них исключает возможное появление другого.
Событии бывают А и (не А). Равновозможные, когда нет оснований предполагать, что одно из них произойдет более вероятно, чем другое. Единственновозможные (А – «5», В – «4», С – «3», Д – «2», Е – н/я) такие события образуют полную группу событий: равновозможные, попарно несовместные.
А или В = А+В=С – произойдет А или В или А и В вместе.
АUВ =С
А и В = АUВ =А*В =С
Р(А)= классическая вероятность события А = , где n – это число.
0<= P <=1
Классическое определение вероятности имеет свои недостатки: n и m бывает определить трудно, а иногда невозможно, поэтому идут по другому пути.
Статистическое определение вероятности. Пусть мы проведем многократно некоторый эксперимент и связанное с ним событие А и наблюдаем. Произошло А, то +, нет - . проводим его n раз, где m – количество раз появления А. На численном эксперименте при большом n показываем, что это отношение в каждом конкретном случае колеблется возле какого-то числа.
|
|
W(A)= называют относительной частотой события А и в реальных задачах эту частоту принимают за вероятность.
W(A)= Р(А)
События бывают зависимые и независимые. А и В называют независимыми если вероятность одного из них не зависит от наступления другого. А и В называют зависимыми если вероятность одного зависит от наступления или ненаступления другого. Для зависимых событий вводят понятие условной вероятности.
или Р(А/В)
Теоремы сложения и умножения вероятностей.
1. Вероятность наступления события А или В, т.е. вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий если события несовместные.
2. Если события совместные, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
3. Вероятность событий А и В = Р(АВ)=Р(А)*Р(В) для независимых.
4. вероятность событий А и В =Р(А) (В)=Р(В)* для зависимых событий.
5. Р(А)+Р( )=1
Р(А)=Р, Р( )= 1-р=q
Примеры.Произвели 3выстрела. Определить событие В состоит в том, что
ровно одно попадание.
|
|
А1 – попал 1 – не попал
А2 2
А3 3
В= А1 2 3 + 1 А2 3 + 1 2 А3
Определить событие С не менее двух попаданий
С= А1 А2 3 + 1 А2 А3 + А1 2 А3 + А1 А2 А3
Пример 2. В книге 185 стр. какова вероятность, что случайно открытая
страница имеет порядок заканчивающийся на 2.
А – открыли n=185 А= =
m=19
пример 3. Вероятность поломки станка по вине рабочего = 0,04; а
вероятность поломки без рабочего = 0,06. Какова вероятность
поломки
А – по вине В – сам по себе
С = А+В = 0,04+0,06=1
Элементы комбинаторики.
1. Перестановки – это комбинации, которые состоят из одних и тех же элементов и отличаются только порядком их расположения.
=n!=1*2*3…n
1, 2, 3 =3!=1*2*3=6
2*1*3=6
3*2*1=6 6
1*3*2=6
2*3*1=6
3*1*2=6
2. Размещение – это комбинации, составленные из n разных элементов по m в каждом, отличающиеся или составом элементов или их порядком.
|
|
n=3 m=2
A 1, 2
2, 1
1, 3 6
3, 1
2, 3
3, 2
3. Сочетания – это комбинации составленные из n разных элементов по m в каждом, отличающиеся хотя бы одним элементом.
Пример 1. В конкурсе принимают участие 5 студентов. Порядок их
выступления определяется жеребьевкой. Сколько существует
вариантов порядка их выступления.
5!=120
Пример 2. Расписание занятий 1-го дня состоит из трех пар. Определить
количество вариантов расписания при выборе из 10 дисциплин.
Пример 3. В шахматном турнире участвуют 20 человек. Сколько партий они
сыграют, если между 2-мя участниками должна сыграться 1
партия.
Пример 4. Монету бросили 2 раза. Какова вероятность, что хотя бы 1 раз
появится герб.
Герб-герб
Герб – решка
Решка – решка вероятность 3/4
Решка – герб
Пример 5. В коробке 6 пронумерованных кубиков. На удачу достают по 1
кубику. Какова вероятность, что они будут попадаться в порядке
|
|
возрастания.
n=6! m=1 =
Пример 6. В пачке 20 перфокарт, помеченных номерами от 101 до 120 и
произвольно расположенные. На удачу достают 2 перфокарты.
Какова вероятность, что эти карты будут с номерами 101 и 120.
n=20 m=2 Р=
пример 7. В ящике 15 деталей, 10 из них окрашены. На удачу достают 3.
Какова вероятность, что они будут окрашены.
n=15= m=10=
Пример 8. В ящике 100 деталей, 10 из них бракованные. Достаем 4. Какова
вероятность, что среди них нет: а) браков; б) годных
n= m=
а)
б)
Пример 9. Вероятность сдачи экзамена на «5»=0,3; «4»=0,45; «2»=0,1;
«н\я»=0,05. Какова вероятность, что студент получит
положительную оценку.
1-(0,3+0,45+0,1+0,05)=0,1
Р(А) = 0,3+0,45+0,1=0,85
Пример 10. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для 1-го
стрелка=0,8 для 2-го =0,9. Найти вероятность того, что: а)оба
попадут в мишень; б)только первый; в)только второй; г)один
стрелок попадет; д)никто не попадет; е)хотя бы один попадет.
А-первый В-второй
А=0,8 В=0,9
=0,2 =0,1
Несовместные, независимые
а)А*В=0,8*0,9=0,72
б)А и =0,8*0,1=0,08
в) и В=0,2*0,9=0,18
г) *В или *А=Р(А )+Р( В)=(0,8*0,1)+(0,2*0,9)=0,08+0,18=0,26
д) и =0,2*0,1=0,02
е)1-0,02=0,98
Пример 11. Для некоторой местности среднее количество ясных дней в июле
25. Какова вероятность, что первые 2 дня будут ясные.
Р(А)= что второй день ясный – В
т. к. один день уже убрали
Р(АВ)=Р(А)*Р(В)=
Пример 12. Вероятность того, что событие появится хотя бы 1 раз в трех
независимых испытаниях=0,936. Найти вероятность появления
события в одном испытании.
Р(А)= q=1-p
Да=p нет=q (куб-количество испытаний)
0,936= q=0,4
p=1- q=0,6
Формула полной вероятности и формула Байеса.
Рассмотрим такую схему: пусть событие А наступает если произойдет одно из событий Н , … составляющие полную группу событий. Известно, Р(Н ), Р( )….Р( ). Известны условные вероятности , …. . Как найти вероятность события А. Р(А)=?
Т. Вероятность события Р(А)= Р(Н ) + Р( ) +…+Р( )
По условию Р(А) может наступить при АН1 или АН2…..АНn. Р(Н ), Р( ) или Р( ) несовместны, поэтому несовместны и АН1, АН2…..АНn. Поэтому Р(А)=Р(АН1)+ Р(АН2)+….+Р(АНn)= Р(Н ) + +Р( ) +…+Р( )
А и Н , попарно зависимы.
Пример1. В цехе 3 типа станков автоматов, на которых производятся детали.
Производительность их одинакова, но качество работы разное.
Известно, что станки 1 типа производят 94% деталей отличного
качества, 2-90%, 3 – 85%. Все детали сложены на складе.
Определить вероятность того, что взятая деталь окажется
отличного качества, если 1 типа – 5 шт., 2 типа – 3 шт., 3 типа – 2
шт.
пусть А – деталь стандартная
изготовили: 1 станок Н
2 станок
3 станок Н3
Р(Н )= Р( )= Р(Н3)=
=0,94 =0,9 =0,85
Р(А)= Р(Н ) + +Р( ) +Р(Н3)* * =1/2*0,94+3/10*0,9+1/5*0,85=0,91
Правило Байеса. Имеется полная группа событий, известны их вероятности. Производится опыт в результате появления события А. какие вероятности имеют события в связи с появлением события А. другими словами, вероятность
Р( )=
Пример 1. Изделие проверено на стандарт 2-мя товароведами. Вероятность
того, что изделие попадет 1-му=0,55 второму = 0,45. вероятность
того, что изделие будет стандартным, если его проверил 1-ый=0,9
второй 0,98. После проверки изделие оказалось стандартным. Какова
вероятность, что его проверил 2-ой.
Н - первый товаровед Р(Н )=0,55
- второй товаровед Р( )=0,45
=0,9 =0,98
Пример 2. В партии 600 лампочек. 200 изготовлены на 1 заводе, 250 на 2, 150
на 3. Вероятность того, что лампочки стандартные изготовлены
1=0,97; 2=0,91; 3=0,93. Взята 1 лампочка, которая оказалась
стандартной. Какова вероятность, что она выполнена на 1 заводе.
- первый завод 200/600=1/3
- второй завод 250/600
- третий завод 150/600
=0,97 =0,91 =0,93
- ?
=
Локальная теорема Лапласа.
При достаточно больших m и n пользоваться формулой Лапласа сложно. Теорема Лапласа позволяет найти приближенные значения вероятности того, что событие произойдет m раз при n.
, где при этом
Ее значения находят по таблице (стр. 99)
Свойства:
1) четная
2) max x=0
3) при x>3
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 262; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!