Диофантовы уравнения первой степени
7. Д. у. первой степени или так называемые линейные уравнения имеют вид 
, где 
.
8. Простейшим видом уравнений в целых числах являются уравнения вида 
, где 
- заданные целые числа, 
. Для решения уравнения (1) в целых числах потребуются некоторые факты.
9. Теорема 1 (деление с остатком): Пусть 
целые числа, отличные от нуля, тогда существует единственная пара целых чисел 
таких, что 
, причем 
.
10. Наибольший общий делитель чисел a, b будем обозначать символом (a, b). Для нахождения наибольшего общего делителя чисел удобно использовать алгоритм Евклида.
11. Теорема 2: Пусть 
, тогда существуют целые числа 
такие, что 
.
12. Теорема 3: Уравнение разрешимо в целых числах тогда и только тогда, когда 
делит 
.
13. Теорема 4: Если числа взаимно простые, т.е. 
и 
делит 
, то делит .
14. Теорема 5: Пусть 
некоторое решение уравнения , тогда любое другое решение уравнения имеет вид 
где 
.
Диофантовы уравнения высших степеней
Методы решения:
1. метод разложения на множители;
2. выражение одной переменной через другую и выделение целой части дроби;
3. решение уравнений как квадратных относительно одной из переменных;
4. использование чётности;
5. доказательство неразрешимости уравнений с использованием сравнений;
6. и другие методы решения диофантовых уравнений.
Логические задачи, решаемые с помощью графов.
· Метод граф
Слово «граф» в математической литературе появилось совсем недавно. Понятие графа используется не только в математике, но и в технике и даже в повседневной жизни под разными названиями – схема, диаграмма.
|
|
|
Особенно большую помощь графы оказывают при решении логических задач. Представляя изучаемые объекты в наглядной форме, «графы» помогают держать в памяти многочисленные факты, содержащиеся в условии задачи, устанавливать связь между ними.
Графом называется любое множество точек, некоторые из которых соединены линиями или стрелками. Точки, изображающие элементы множества, называют вершинами графа, соединяющие их отрезки – рёбрами графа. Точки пересечения рёбер графа не являются его вершинами. Во избежание путаницы вершины графа часто изображают не точками, а маленькими кружочками. Рёбра иногда удобнее изображать не прямолинейными отрезками, а дугами.
Логические задачи,решаемые с помощью составления таблиц истинности.
Таблица истинности - это табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний. Таблица истинности логического выражения - это таблица, содержащая значения логического выражения, полученные на всех значениях, входящих в него логических переменных.
|
|
|
Правила для построения таблиц истинности:
Необходимо определить количество строк в таблице истинности.
К=2n, где n-количество переменных; К-количество строк.
Определить количество столбцов (количество переменных + количество логических операций).
Ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов.
Заполнить столбцы логических переменных наборами значений.
Заполнить таблицу истинности по столбцам, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности.
Задачи-игры
Игра — тип олимпиадных задач по математике, в которых требуется проанализировать стратегию игры и/или назвать победителя этой игры. Обычно заканчивается традиционным вопросом: «кто выиграет при правильной игре?» Как правило, в задачах этого типа игры:
1. детерминированы
2. финитны
3. с полной информацией
4. включают ровно двух участников
5. с невозможной (по правилам) ничьей
|
|
|
Отклонения от указанных характеристик единичны. Часть задач состоит как раз в доказательстве этих характеристик. Указанные задачи, как правило, не предполагают знания теории игр. Тем не менее, отдельные положения теории игр — интуитивно очевидные — могут использоваться.
Игровые олимпиадные задачи решаются при помощи следующих разделов математики:
· Комбинаторика
· Целые числа
· Графы и раскраски
· Диофантовые уравнения
· Динамизация
· Принцип Дирихле
На предыдущих лекциях с теорией по этим дисциплинам мы познакомились. Поэтому с теоретическим материалом проблем у нас не возникнет. Перейдем непосредственно к задачам.
Игровые задачи можно разделить на несколько видов. Первый вид – это шахматные задачи. К ним относятся задачи, в условиях которых присутствуют непосредственные действия с шахматными фигурами или шахматной доской. Для решения таких задач необходимо иметь хотя бы базовые знания о том, как ходят шахматные фигуры, иметь развитое логическое мышление. Рассмотрим такие задачи.
22.
Первоначальные сведения
I. Что такое параметр?
Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.
|
|
|
Комментарий. Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи. Например, из неотрицательности левой части уравнения |x|=a–1 не следует неотрицательность значений выражения a–1, и если a–1<0, то мы обязаны констатировать, что уравнение не имеет решений.
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 647; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!