Типы уравнений и способы их решения
Всюду далее f(x), g(x), h(x) – некоторые выражения с переменной (число).
I тип: уравнение вида: (1) где c Î R. ОДЗ:
На указанной ОДЗ уравнение (1) решают по определению логарифма:
II тип: уравнение вида (2) ОДЗ:
На основании равенства логарифмов, уравнение (2) сводится к равносильному ему (на указанной ОДЗ) уравнению: (3).
ОДЗ:
Данное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений:
III тип: уравнения, решаемые заменой переменной (4), где F – некоторое выражение относительно
Необходимо определить ОДЗ уравнения, учитывая все условия существования логарифма и выражения F. Далее заменяют и решают уравнение
Если – корни последнего уравнения, то, после возвращения к старой переменной, необходимо решить совокупность
Полученные корни проверяют по ОДЗ.
З а м е ч а н и е. Если вместо какого-либо выражения f(x), g(x), h(x) уравнения (1)–(4) содержат число, то соответствующее условие не записывают в ОДЗ.
Логарифмические неравенства. Основные методы решения логарифмических неравенств
Логарифмическим неравенством называется такое неравенство, в котором неизвестная величина содержится или под знаком логарифма, или в его основании.
Особенностью решения логарифмических неравенств является учет ОДЗ входящих в него логарифмов. В отличие от логарифмических уравнений, условия, определяющие ОДЗ, целесообразно записывать вместе с решением в одной системе, так как в ходе решения некоторые условия на ОДЗ учитываются сразу. Необходимо внимательно следить за величиной основания логарифма, так как при положительном основании логарифма, которое меньше единицы, знак неравенства меняется на противоположный.
|
|
Типы неравенств и способы их решения
Всюду далее f(x), g(x), h(x) – некоторые выражения с переменной.
I тип: неравенство вида: (5) где a > 0.
1. Если 0 < a < 1, то неравенство (5) равносильно системе (6)
2. Если a > 1, то неравенство (5) равносильно системе
Заметим, что в этом случае первое неравенство системы (6) можно не решать, так как во втором неравенстве (7)
Решение неравенства (7) сводится к решению совокупности двух систем:
Неравенство f(x) > 0 во второй системе можно не решать, так как оно справедливо при выполнении двух других неравенств этой системы.
II тип: неравенство вида: (8)
1. Если 0 < a < 1, то неравенство (8) равносильно системе (9)
Неравенство g(x) > 0 в системе (9) можно не решать, так как оно выполняется при условии выполнения двух других неравенств этой системы.
2. Если то неравенство (8) равносильно системе (10)
Неравенство в системе (10) можно не решать. (11)
|
|
Поскольку в основании содержится переменная величина, то в общем случае решение неравенства (11) зависит от величины основания по сравнению с числом 1. Поэтому решаем совокупность двух систем:
III тип: неравенство вида (12), где F – некоторое выражение относительно
Необходимо заменить и решить неравенство F(y) > 0. Полученные в качестве решения последнего неравенства промежутки записывают в виде неравенств относительно y, а затем возвращаются к старой переменной.
Аналогично решают неравенства I – III типов, в которых вместо знака
> использованы знаки ³, <, £.
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 635; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!