Метод интервалов.(основной метод)

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 23Следующая ⇒

Пусть Р_n(x) – многочлен n–й степени с действительными коэффициентами, а c₁, c₂, … , c_i ( все действительные корни многочлена с кратностями k₁, k₂, … , k_i соответственно, причем с₁ > c₂ > …> c_i. Многочлен Pn(x) можно представить в виде Рn(x) = (x – c₁) k1(x – c₂) k₂ ( (x – c_i)k_i Qm(x), (3) где многочлен Qm(x) действительных корней не имеет и либо положителен, либо отрицателен при всех х(R. Положим для определенности, что Qm(x) > 0. Тогда при х > c1 все сомножители в разложении (3) положительны и Рn(х) > 0. Если с1 ( корень нечетной кратности (k1 ( нечетное), то при х((с2; с1) все сомножители в разложении (3), за исключением первого, положительны и Рn(х)<0. В этом случае говорят, что многочлен Рn(х) меняет знак при переходе через корень с1. Если же с1 ( корень четной кратности (k1 (четное), то все сомножители (в том числе и первый) при х((с2; с1) положительны и, следовательно, Рn(х) > 0 при х((c2; с1). В этом случае говорят, что многочлен Рn(х) не меняет знак при переходе через корень с1.

Аналогичным способом, используя разложение (3), нетрудно убедится, что при переходе через корень с2 многочлен Рn(х) меняет знак, если k2 (нечетное), и не меняет знака, если k2 (четное). Рассмотренное свойство многочленов используется для решения неравенств методом интервалов. Для того чтобы найти все решения Рn(х) > 0, (4) достаточно знать все действительные корни многочлена Рn(х) их кратности и знак многочлена Рn(х) в произвольно выбранной точке, не совпадающей с корнем многочлена.

Дробно–рациональные неравенства.

Решение рационального неравенства Pn(x)/Qn(x) > 0 (5) где Рn(х) и Qm(х) (многочлены, сводится к решению эквивалентного неравенства (4) следующим образом: умножив обе части неравенства (5) на многочлен [Qm(x)]2, который положителен при всех допустимых значениях неизвестного х (т.е. при тех х, при которых Qm(x) ( 0), получим неравенство Рn(х) ( Qm(x) > 0, эквивалентное неравенству (5).

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ

Неравенства с одной или двумя переменными можно решать графически.

Неравенство с одной переменой можно записать так: f(x) > g(x), где f(x) и g(x) – выражения, содержащие переменную.

Построим в одной системе координат графики функций y = f(x) и
у = g(x).

Решение неравенства есть множество значений переменой х, при которых график функций у=g(x), так как f(x)>g(x).Это показано на рисунках 1 и 2.

Решение неравенства с двумя переменными f(x,y)>0 есть множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому неравенству. Рассмотрим на примерах решение некоторых неравенств с двумя переменными.

Пример 1. Решить графически неравенство x + у > 0. Решение. Запишем неравенство в виде у> –х. Построим прямую у= –х. Координаты точек плоскости, которые лежат выше этой прямой, есть решение неравенства ( на рисунке 3 – заштрихованная область).

Модуль числа. Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля

Геометрический смысл модуля: – расстояние от точки 0 до точки на числовой прямой. Модуль называют еще абсолютной величиной.

Аналитически его определяют так: .

Если под знаком модуля стоит неотрицательное выражение, то знак модуля можно опустить и выражение, стоящее под знаком модуля, записать без изменения.

Если под знаком модуля стоит отрицательное выражение, то знак опустив модуля, выражение, стоящее под знаком модуля, взять в скобки и перед ним поставить знак «минус».

Основные свойства модуля:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ; 8. .

Используя геометрический смысл модуля и его определение получают способы решения уравнений с модулем.

I тип уравнений

, где число (1), Рассмотрим частный случай:

1) если , то решений нет;

2) если , то единственное решение ;

3) если , то геометрически это означает, что надо найти такие точки на числовой оси, которые находятся на расстоянии в масштабных единиц от точки 0.

Таких точек две. Т.о. при решением является совокупность .

Вернемся к уравнению (1). Наиболее рационально его решать таким же подходом. Т.е.

1) если , то решений нет;

2) если , решаем уравнение ;

3) если , решаем совокупность уравнений: .

II тип уравнений

(2), где некоторые выражения с переменной.

Решать это уравнение можно несколькими способами:

1–й способ – используя определение модуля:

2–й способ – используя подход как к уравнениям I типа:

Замечание:1–й и 2–й способ в решении таких уравнений выбирают в зависимости от того, какое неравенство или решается легче.

3–й способ – метод интервалов:

1) находим критические точки: ;

2) наносим полученные значения на числовую ось ;

3) определяем знаки для каждого из полученных интервалов;

4) рисуем кривую знаков;

5) решаем уравнение на каждом промежутке в отдельности, раскрывая модуль согласно рисунку;

6) ОДЗ. Если это не вся числовая ось, учитываем сразу на рисунке после того как нарисовали кривую знаков.

III тип уравнений

Уравнения содержат несколько модулей: , (3), где .

1–й способ –можно использовать определение модуля и рассматривать 4 случая возможных знаков , . Этот способ, как правило, не является рациональным.

2–й способ – метод интервалов: рисуем столько числовых осей и кривых знаков, сколько модулей в уравнении.

IV тип уравнений

, (4), где .

1–й способ –решаем совокупность уравнений: .

2–й способ – метод интервалов.

3–й способ – используя теорему равносильности: если обе части уравнения , где при всех значениях из области определения, возвести в одну и ту же натуральную степень , то получится уравнение , равносильное данному.