Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Функция называется однородной функцией – того измерения, если при любом имеет место тождество: .
Например, – однородная функция третьего измерения, так как .
Аналогично доказывается, что функции
являются однородными функциями соответственно первого, нулевого и второго измерений.
Дифференциальное уравнение первого порядка вида:
называется однородным, если и – однородные функции одинакового измерения.
Однородное дифференциальное уравнение приводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными подстановкой , где – новая неизвестная функция.
Пример 9
Решить уравнение:
.
Решение
В данном уравнении функции , – однородные второго измерения, следовательно, уравнение является однородным.
Положим , откуда . Подставляем эти выражения и в данное уравнение:
т.е.
или
.
Выражение, содержащее dz, всегда оставляем в левой части уравнения, а все остальное переносим в правую часть:
.
Разделим обе части равенства на , получим:
.
Проинтегрируем обе части последнего равенства:
,
откуда
,
или
.
Возвращаясь к прежней функции , находим общее решение дифференциального уравнения: .
Пример 10
Найти частное решение уравнения:
Решение
Воспользовавшись тем, что , имеем:
или .
|
|
Полученное уравнение является однородным. Положим , откуда . Подставляя эти выражения и в данное уравнение, имеем:
Или
Или
Разделим обе части равенства на выражение , получим:
.
Проинтегрируем обе части последнего равенства:
,
Откуда
Или ,
Или .
Возвращаясь к прежней функции , находим общее решение дифференциального уравнения: .
Для нахождения частного решения данного дифференциального уравнения подставим начальные значения , в общее решение и найдем значение :
.
Следовательно, частное решение дифференциального уравнения имеет вид:
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка вида:
,
где и – функции переменной x или постоянные величины, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Уравнение называется линейным, так как искомая функция и ее производная входят в это уравнение в первой степени.
При решении линейных уравнений применяют метод Бернулли. Для этого используют подстановку , в результате которой уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными:
|
|
где и – новые функции переменной x.
Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка
1) Привести уравнение к виду .
2) Используя подстановку , найти и подставить эти выражения в уравнения.
3) Сгруппировать члены уравнения и вынести одну из функций или за скобки. Найти вторую функцию, приравняв выражение в скобках к нулю и решив полученное уравнение.
4) Подставить найденную функцию в оставшееся выражение и найти вторую функцию.
5) Записать общее решение, подставив выражения для найденных функций и в равенство .
6) Если требуется найти частное решение, то определить С из начальных условий и подставить в общее решение.
Пример 11
Решить уравнение: .
Решение
Разделим обе части уравнения на :
.
Полученное уравнение является линейным. Положим ; . Подставляя выражения и в исходное уравнение, имеем:
.
Вынесем функцию за скобки:
.
Получаем систему двух уравнений с разделяющимися переменными:
|
|
Решим первое уравнение системы:
,
или
,
или
.
Интегрируя обе части последнего равенства, получим:
,
или
.
При нахождении функции постоянная считается равной нулю. Найденное значение подставляем во второе уравнение системы:
,
откуда
,
или
.
Интегрируя обе части последнего равенства, получим:
,
или
.
Подставляя найденные значения и в равенство , получим общее решение данного уравнения:
или
.
Пример 12
Найти частное решение уравнения: .
Решение Раздели мобе части уравнения на ,
Или .
Полученное уравнение является линейным. Положим ; .
Подставляя .
Вынесем функцию за скобки: .
Получаем систему двух уравнений с разделяющимися переменными:
Решим первое уравнение системы: ,
Или ,
Или .
Интегрируя обе части последнего равенства, получим:
|
|
,
Откуда ,
Или
При нахождении функции постоянная считается равной нулю. Найденное значение подставляем во второе уравнение системы:
Откуда ,
Или .
Интегрируя обе части последнего равенства, получим: ,
Или .
Подставляя найденные значения и в равенство , получим общее решение данного уравнения:
Или .
Для нахождения частного решения данного дифференциального уравнения подставим начальные значения , в общее решение и найдем значение :
.
Следовательно, частное решение дифференциального уравнения имеет вид: .
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 717; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!