Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Функция называется однородной функцией – того измерения, если при любом имеет место тождество: .

Например, – однородная функция третьего измерения, так как .

Аналогично доказывается, что функции

являются однородными функциями соответственно первого, нулевого и второго измерений.

Дифференциальное уравнение первого порядка вида:

называется однородным, если и – однородные функции одинакового измерения.

Однородное дифференциальное уравнение приводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными подстановкой , где – новая неизвестная функция.

Пример 9

Решить уравнение:

Решение

В данном уравнении функции , – однородные второго измерения, следовательно, уравнение является однородным.

Положим , откуда . Подставляем эти выражения и в данное уравнение:

т.е.

или

Выражение, содержащее dz, всегда оставляем в левой части уравнения, а все остальное переносим в правую часть:

Разделим обе части равенства на , получим:

Проинтегрируем обе части последнего равенства:

откуда

или

Возвращаясь к прежней функции , находим общее решение дифференциального уравнения: .

Пример 10

Найти частное решение уравнения:

Решение

Воспользовавшись тем, что , имеем:

или .

Полученное уравнение является однородным. Положим , откуда . Подставляя эти выражения и в данное уравнение, имеем:

Или

Разделим обе части равенства на выражение , получим:

Проинтегрируем обе части последнего равенства:

Откуда

Или ,

Или .

Возвращаясь к прежней функции , находим общее решение дифференциального уравнения: .

Для нахождения частного решения данного дифференциального уравнения подставим начальные значения , в общее решение и найдем значение :

Следовательно, частное решение дифференциального уравнения имеет вид:

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка вида:

где и – функции переменной x или постоянные величины, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Уравнение называется линейным, так как искомая функция и ее производная входят в это уравнение в первой степени.

При решении линейных уравнений применяют метод Бернулли. Для этого используют подстановку , в результате которой уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными:

где и – новые функции переменной x.

Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

1) Привести уравнение к виду .

2) Используя подстановку , найти и подставить эти выражения в уравнения.

3) Сгруппировать члены уравнения и вынести одну из функций или за скобки. Найти вторую функцию, приравняв выражение в скобках к нулю и решив полученное уравнение.

4) Подставить найденную функцию в оставшееся выражение и найти вторую функцию.

5) Записать общее решение, подставив выражения для найденных функций и в равенство .

6) Если требуется найти частное решение, то определить С из начальных условий и подставить в общее решение.

Пример 11

Решить уравнение: .