Тема 2.1 Элементы теории вероятностей.
Основные понятия комбинаторики
Основные понятия комбинаторики.
Задачи, при решении которых приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и производить подсчёт числа всех возможных таких комбинаций, называются комбинаторными. К основным комбинаторным понятиям относятся размещение, перестановки, сочетания.
Размещение Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, содержащее по к элементов, называется размещение из n элементов по к элементов.
Число размещений из n элементов по к элементов обозначается 
и вычисляется по формуле 
.
Для краткости произведения первых n натуральных чисел принято обозначать n! (n-факториал) 1*2*3….n=n! условились считать, что 0!=1.
Тогда формулу числа размещений из n элементов по к элементов можно записать в другом виде: 
Условились считать 
Пример 1. Сколькими способами из группы, включающей 25 студентов, можно выбрать актив группы в составе 3 человек?
Решение. Состав актива группы является упорядоченным множеством из 25 элементов по 3 элемента. Значит, искомое число способов равно числу размещений из 25 элементов по три элемента в каждом: 
Перестановки Размещение из n элементов по n элементов называются перестановки из n элементов.
Так как каждая перестановка содержит n элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов.
|
|
|
Число размещений из n элементов данного множества обозначается 
и вычисляется по формуле 
Пример 2. четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4 без повторений.
Решение. По условию дано множество, содержащее 4 элементов, которые требуется расположить в определённом порядке. Т.е. 
. Следовательно, без повторений можно составить 24 четырёхзначных числа.
Сочетание Пусть дано множество, содержащее n элементов. Каждое его подмножество, содержащее к элементов, называется сочетанием из n элементов по к элементов.
Таким образом, сочетания из n элементов по к элементов- это все к- элементные подмножества n-элементного множества, причём различными подмножествами считаются только те, которые имеют неодинаковый состав элементов. Подмножества, отличающиеся друг от друга порядком следования элементов, не считаются различными. Число сочетаний из n элементов к элементов обозначается 
и вычисляется по формулам: 
Число сочетаний 
( 
)
Пример 3. Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек?
Решение. Состав каждой бригады является конечным множеством из 12 элементов по 6. значит искомое число способов равно числу сочетаний из 12 элементов по 6 в каждом. 
|
|
|
Случайные события. Вероятность события.
Теория вероятностей- это математическая наука, которая изучает закономерности в случайных событиях. К основным понятиям теории вероятностей относятся испытания и случайные события.
Под испытанием (опытом) понимают реализацию данного комплекса условий, в результате которого непременно произойдёт какое-либо событие.
Например, бросание монеты- испытание, появление герба или цифры - событие.
Случайным событием называется событие, связанное с данным испытанием, которое при осуществлении испытания может произойти, а может не произойти.
Например, выстрел по цели- это опыт, случайное событие в этом опыте- попадание в цель или промах.
Событие в данных условиях называется достоверным, если в результате опыта оно непременно должно произойти, и невозможным, если оно заведомо не произойдёт.
Например, выпадение не более шести очков при бросании одной игральной кости - достоверное событие; выпадение десяти очков при бросании одной игральной кости - невозможное событие.
События называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе.
|
|
|
Например, попадание и промах при одном выстреле – это несовместные события.
Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную систему событий, если в результате опыта непрерывно должен произойти хотя бы одно из них. Например, при бросании игральной кости события, состоящие в выпадении 1,2,3,4,5,6 очков, образуют полную систему событий.
События называются равновозможными, если ни одно из них не является объектом более возможным, чем другие. Например, при бросании монет выпадение герба или числа – событие равновозможные.
Каждое событие обладает какой-то степенью возможности. Числовая мера степени объективной возможности события - это вероятность события. Вероятность события А обозначается Р(А).
Пусть в системе исходов благоприятствуют событию А. Тогда вероятностью события А называется отношение m числа исходов благоприятствуют событию А. Тогда вероятностью события А называется отношение m числа исходов, благоприятствующих событию А, к числа всех исходов данного испытания: 
Эта формула называется классическим определением вероятности.
Если U- достоверное событие, то P(U)=1,если V- невозможное событие, то Р(V)=0,если А- случайное событие, то 
и 
. Таким образом вероятность события заключается в следующих пределах: 
|
|
|
Пример 4. Игральная кость подбрасывается один раз. Найти вероятность события А- появление чётного числа очков; В- появление не менее пяти очков; С- появление не более пяти.
Решение. Опыт имеет шесть равновозможных независимых исходов, т.е. n=6
Событию А благоприятствуют 3 исхода, поэтому 
. Событию В благоприятствует 2 исхода, поэтому 
. Событию С благоприятствует 5 исходов, поэтому 
.
При вычислении вероятности часто приходится использовать формулы комбинирования.
Пример 5. В урне находится 7 красных и 6 синих шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара красные?
Решение. Событие А- вынуто два красных шара. Число равновозможных независимых исходов равно 
Событию А благоприятствуют 
исходов следовательно, 
.
Пример 6. девять различных книг расставлены наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что четыре определённые книги окажутся поставленными рядом.
Решение. А- четыре книги поставлены рядов. Число равновозможных независимых исходов равно 
подсчитаем число исходов m,что четыре определённые книги связаны вместе, тогда эту связку можно расположить на полке 
способами (связка плюс пять остальных книг). Внутри связки четыре книги можно переставить 
способами. При этом каждая комбинация внутри связки может сочетаться с каждым из 
способов образоваться связки, т.е. 
Следовательно, 
Пример7. В партии из 24 деталей пять бракованных. Из партии выбирают наугад 6 деталей. Найти вероятность того, что среди этих 6 деталей окажутся 2 бракованных.
Решение. Событие А- среди 6 деталей 2 бракованные. Число равновозможных независимых испытаний равно 
Подсчитаем число исходов m, благоприятствующих событию А. Среди наугад выбранных 6 деталей должны быть 2 бракованных и 4 стандартные детали. Две бракованные детали можно выбрать 
Четыре стандартных детали из 19 стандартных можно выбрать 
Каждая комбинация бракованных деталей может сочетаться с каждой комбинацией стандартных деталей, поэтому 
.Следовательно, 
Таблица вариантов
| Вариант | Номера заданий | Вариант | Номера заданий |
| 00 | 7, 38, 70, 95, 101, 126, 151, 194, 217 | 50 | 1, 27, 53, 78, 110, 135, 160, 180, 206 |
| 01 | 14, 29, 54, 79, 104, 129, 154, 179, 204 | 51 | 2, 28, 54, 79, 104, 129, 154, 179, 205 |
| 02 | 20, 35, 58, 83, 108, 133, 158, 184, 225 | 52 | 3, 26, 51, 76, 101, 126, 151, 176, 201 |
| 03 | 9, 34, 69, 94, 118, 143, 168, 192, 224 | 53 | 4, 29, 55, 80, 105, 130, 155, 181, 202 |
| 04 | 12, 33, 59, 84, 112, 137, 162, 190, 220 | 54 | 11, 30, 56, 81, 106, 131, 156, 177, 203 |
| 05 | 10, 32, 53, 78, 107, 130, 155, 183, 209 | 55 | 9, 32, 57, 82, 108, 133, 158, 199, 224 |
| 06 | 19, 35, 64, 89, 114, 139, 164, 193, 216 | 56 | 7, 33, 61, 86, 109, 134, 159, 178, 204 |
| 07 | 11, 37, 52, 77, 109, 134, 159, 185, 212 | 57 | 8, 31, 52, 77, 102, 127, 152, 182, 207 |
| 08 | 15, 47, 55, 80, 103, 128, 153, 189, 208 | 58 | 5, 34, 65, 90, 110, 135, 160, 183, 223 |
| 09 | 2, 43, 51, 76, 102, 127, 152, 178, 223 | 59 | 23, 48, 73, 98, 123, 148, 173, 198, 208 |
| 10 | 4, 30, 65, 90, 116, 141, 166, 177, 214 | 60 | 25, 35, 74, 99, 124, 149, 174, 197, 222 |
| 11 | 18, 49, 61, 86, 122, 147, 172, 176, 219 | 61 | 6, 45, 59, 84, 118, 143, 168, 192, 216 |
| 12 | 5, 28, 74, 99, 120, 145, 170, 191, 222 | 62 | 10, 49, 73, 98, 122, 147, 172, 196, 220 |
| 13 | 21, 50, 63, 88, 124, 149, 174, 187, 210 | 63 | 12, 28, 53, 78, 103, 128, 153, 178, 203 |
| 14 | 25, 44, 56, 81, 110, 135, 160, 186, 207 | 64 | 24, 30, 54, 79, 105, 130, 155, 181, 207 |
| 15 | 17, 40, 62, 87, 115, 140, 165, 181, 213 | 65 | 22, 31, 57, 82, 107, 132, 157, 182, 208 |
| 16 | 8, 42, 67, 92, 125, 150, 175, 188, 211 | 66 | 13, 38, 63, 88, 113, 138, 163, 188, 203 |
| 17 | 23, 48, 72, 97, 119, 144, 169, 196, 221 | 67 | 23, 37, 64, 89, 112, 137, 162, 189, 202 |
| 18 | 1, 46, 66, 91, 106, 131, 156, 180, 203 | 68 | 14, 48, 65, 90, 114, 139, 164, 190, 221 |
| 19 | 6, 45, 60, 85, 117, 142, 167, 195, 218 | 69 | 22, 47, 66, 91, 116, 141, 166, 191, 220 |
| 20 | 3, 36, 57, 82, 121, 146, 171, 199, 215 | 70 | 21, 43, 67, 92, 118, 143, 168, 193, 218 |
| 21 | 22, 31, 73, 98, 123, 148, 173, 198, 201 | 71 | 15, 46, 68, 93, 119, 144, 169, 192, 219 |
| 22 | 13, 27, 75, 100, 113, 138, 163, 200, 206 | 72 | 20, 41, 69, 94, 117, 142, 167, 194, 215 |
| 23 | 24, 41, 68, 93, 111, 136, 161, 197, 202 | 73 | 19, 45, 70, 95, 120, 145, 170, 195, 216 |
| 24 | 16, 26, 69, 94, 107, 132, 157, 182, 205 | 74 | 18, 40, 71, 96, 121, 146, 171, 196, 214 |
| 25 | 4, 43, 55, 80, 109, 134, 159, 193, 209 | 75 | 7, 27, 74, 99, 123, 148, 173, 194, 225 |
| 26 | 2, 47, 52, 77, 114, 139, 164, 183, 220 | 76 | 1, 49, 55, 80, 114, 139, 164, 179, 219 |
| 27 | 15, 37, 64, 89, 110, 135, 160, 190, 224 | 77 | 3, 33, 68, 93, 101, 126, 151, 193, 224 |
| 28 | 11, 35, 53, 78, 112, 137, 162, 192, 225 | 78 | 24, 34, 54, 79, 109, 134, 159, 195, 219 |
| 29 | 19, 32, 59, 84, 118, 143, 168, 184, 204 | 79 | 2, 30, 52, 77, 115, 140, 165, 180, 205 |
| 30 | 10, 33, 69, 94, 108, 133, 158, 179, 217 | 80 | 21, 41, 61, 86, 105, 131, 156, 176, 216 |
| 31 | 7, 29, 58, 83, 118, 143, 168, 190, 216 | 81 | 11, 31, 51, 76, 110, 135, 160, 190, 220 |
| 32 | 14, 34, 68, 93, 109, 134, 159, 189, 223 | 82 | 17, 37, 57, 82, 119, 144, 169, 184, 214 |
| 33 | 1, 45, 57, 82, 113, 138, 163, 197, 205 | 83 | 5, 35, 65, 90, 125, 150, 175, 200, 215 |
| 34 | 6, 36, 75, 100, 111, 136, 161, 182, 202 | 84 | 23, 43, 73, 98, 113, 138, 163, 183, 213 |
| 35 | 23, 46, 65, 90, 121, 146, 171, 199, 215 | 85 | 12, 32, 62, 87, 103, 128, 153, 178, 208 |
| 36 | 16, 38, 68, 93, 104, 129, 154, 200, 225 | 86 | 8, 38, 58, 83, 115, 140, 165, 188, 209 |
| 37 | 24, 29, 75, 100, 104, 129, 154, 184, 215 | 87 | 10, 28, 53, 78, 117, 142, 167, 177, 203 |
| 38 | 21, 28, 62, 87, 122, 147, 172, 178, 218 | 88 | 6, 46, 66, 91, 114, 139, 164, 178, 204 |
| 39 | 18, 30, 51, 76, 103, 128, 153, 185, 216 | 89 | 16, 26, 56, 81, 107, 132, 157, 182, 210 |
| 40 | 3, 45, 57, 82, 106, 131, 156, 188, 207 | 90 | 13, 35, 59, 84, 100, 145, 170, 185, 218 |
| 41 | 5, 49, 74, 99, 116, 141, 166, 176, 210 | 91 | 14, 44, 69, 94, 101, 126, 151, 181, 201 |
| 42 | 8, 40, 67, 92, 119, 144, 169, 195, 215 | 92 | 22, 42, 72, 97, 112, 137, 162, 187, 202 |
| 43 | 9, 33, 53, 74, 114, 139, 164, 199, 206 | 93 | 4, 45, 70, 95, 118, 143, 168, 186, 207 |
| 44 | 12, 28, 70, 95, 107, 132, 157, 200, 225 | 94 | 18, 47, 63, 88, 112, 137, 162, 181, 216 |
| 45 | 1, 26, 51, 76, 101, 126, 151, 176, 201 | 95 | 20, 36, 67, 92, 111, 136, 161, 192, 212 |
| 46 | 5, 30, 55, 80, 105, 130, 155, 180, 205 | 96 | 15, 40, 60, 85, 102, 127, 152, 191, 211 |
| 47 | 4, 29, 54, 79, 104, 129, 154, 179, 204 | 97 | 9, 29, 75, 100, 125, 150, 175, 196, 221 |
| 48 | 8, 33, 58, 83, 108, 133, 158, 188, 218 | 98 | 19, 50, 71, 96, 124, 149, 174, 183, 222 |
| 49 | 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, 225 | 99 | 25, 48, 74, 99, 109, 134, 159, 199, 217 |
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
1-25. Вычислите пределы:
1. а)  ;
б)  .
| 2. а)  ;
б)  .
|
3. а)  ;
б)  .
| 4. а)  ;
б)  .
|
5. а)  ;
б)  .
| 6. а)  ;
б)  .
|
7. а)  ;
б)  .
| 8. а)  ;
б)  .
|
9. а)  ;
б)  .
| 10. а)  ;
б)  .
|
11. а)  ;
б)  .
| 12. а)  ;
б)  .
|
13. а)  ;
б)  .
| 14. а)  ;
б)  .
|
15. а)  ;
б)  .
| 16. а)  ;
б)  .
|
17. а)  ;
б)  .
| 18. а)  ;
б)  .
|
19. а)  ;
б)  .
| 20. а)  ;
б)  .
|
21. а)  ;
б)  .
| 22. а)  ;
б)  .
|
23. а)  ;
б)  .
| 24. а)  ;
б)  .
|
25. а)  ;
б)  .
|
26. Найдите производную функции 
и вычислите 
27. Найдите производную функции 
и вычислите 
.
28. Найдите производную функции 
и вычислите 
.
29. Найдите производную функции 
и вычислите 
.
30. Найдите производную функции 
и вычислите 
.
31. Найдите производную функции 
и вычислите 
.
32. Найдите производную функции 
и вычислите 
.
33. Найдите производную функции 
и вычислите 
.
34. Найдите производную функции 
и вычислите 
.
35. Найдите вторую производную функции 
и вычислите 
.
36. Найдите производную функции 
и вычислите .
37. Найдите производную функции 
и вычислите 
.
38. Найдите вторую производную функции 
и вычислите 
.
39. Найдите производную функции 
и вычислите 
.
40. Найдите производную функции 
и вычислите 
.
41. Найдите производную функции 
и вычислите 
.
42. Найдите вторую производную функции 
и вычислите 
.
43. Найдите вторую производную функции 
и вычислите 
.
44. Найдите производную функции 
и вычислите .
45. Найдите вторую производную функции 
и вычислите 
.
46. Найдите производную функции 
и вычислите .
47. Найдите производную функции 
и вычислите 
.
48. Найдите производную функции 
и вычислите 
.
49. Найдите вторую производную функции 
и вычислите 
.
50. Найдите производную функции 
и вычислите .
51. Исследуйте функцию 
и постройте график.
52. Резервуар емкостью 108 м3 с квадратным основанием, открытый сверху, нужно покрыть эмалью. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы израсходовать для этого минимальное количество эмали?
53. Исследуйте функцию 
и постройте график.
54. Число 25 запишите в виде произведения двух положительных чисел, сумма которых наименьшая.
55. Тело движется прямолинейно по закону 
. Найдите максимальную скорость движения тела.
56. Какие размеры должен иметь цилиндр, площадь полной поверхности которого 96π см2, чтобы его объем был наибольшим?
57. Путь s в метрах, пройденный телом за t секунд при прямолинейном движении, определяется уравнением 
. Найдите скорость и ускорение в конце третьей секунды.
58. Докажите, что из всех прямоугольников, имеющих периметр 32 см, наибольшую площадь имеет квадрат.
59. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 
.
60. Исследуйте функцию у = х3 – 3х2 и постройте график.
61. Число 50 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.
62. Составьте уравнение касательной к графику функции у = х3 + 2х2 – 4х – 3 в точке с абсциссой х = -2.
63. Какой из цилиндров с объемом 128π см3 имеет наименьшую полную поверхность?
64. Постройте график функции у = х3 – 2х2 + х.
65. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого равен 288 см3, а стороны основания относятся как 1 : 3. Каковы должны быть размеры ящика, чтобы его полная поверхность была наименьшей?
66. Около стены нужно сделать забор, чтобы огородить прямоугольный участок земли наибольшей площади. Общая длина забора 60 м. Найдите длину части забора, параллельной стене.
67. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х4 – 2х2 + 5 на отрезке 
.
68. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 8 см. Найдите длину каждого катета, если площадь треугольника должна быть наибольшей.
69. Запишите уравнение касательной к кривой у = х3 + 2х2 – 3х в точках ее пересечения с осью Ох.
70. Докажите, что из всех прямоугольников с площадью 400 см2 квадрат имеет наименьший периметр.
71. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х3 – 3х2 + 3х + 2 на отрезке 
.
72. Из всех прямоугольных параллелепипедов, у которых в основании лежит квадрат и площадь полной поверхности равна 600 см2, найдите параллелепипед наибольшего объема и определите его размеры.
73. Исследуйте функцию у = 2х3 – 3х2 и постройте график.
74. Какое положительное число, будучи сложено с обратным ему числом, дает наименьшую сумму?
75. Каковы должны быть размеры цилиндрического сосуда емкостью 8π литров, открытого сверху, чтобы на его изготовление потребовалось наименьшее количество материала?
76. Найдите дифференциал функции 
.
77. Вычислите значение дифференциала функции 
при х = 3, Δх = 0,02.
78. Вычислите приближенное значение приращения функции у = х3 – х + 5 при изменении аргумента от 2 до 2,01.
79. Вычислите приближенное значение функции у = х3 – 4х2 + 5х + 3 при х = 1,03.
80. Найдите приближенное значение 
.
81. Шар радиуса 40 см был нагрет, вследствие чего радиус его удлинился на 0,1 см. На сколько увеличился при этом объем шара?
82. Найдите дифференциал функции 
.
83. Вычислите дифференциал пути, выраженного уравнением 
при t = 3, Δt = 0,02.
84. Вычислите приближенно приращение функции у = 2х3 – 3х2 + 4 при изменении аргумента от 3 до 3,001.
85. Вычислите приближенное значение функции у = х(1+х)(1-х) при х = 9,9.
86. Найдите приближенное значение 
.
87. Вычислите приближенное значение площади S круглой пластинки, радиус которой равен 4 см, если при охлаждении ее радиус уменьшился на 0,02 см.
88. Найдите дифференциал функции 
.
89. Вычислите значение дифференциала функции 
при 
, Δх = 0,05.
90. Вычислите приближенное значение приращения функции 
при изменении аргумента от 1 до 1,05.
91. Вычислите приближенное значение приращения функции 
при х = 0,2.
92. Найдите приближенное значение 
.
93. Сторона земельного участка квадратной формы равна 100 м. Найдите приближенно приращение его площади при увеличении его стороны на 10 см.
94. Дана функция 
. Докажите, что 
.
95. Вычислите значение дифференциала функции 
при х = 9, Δх = 0,01.
96. Высота конуса равна 4 см, а радиус основания – 3 см. Как изменится приблизительно объем конуса, если радиус его основания уменьшить на 5 мм, не меняя высоты?
97. Вычислите приближенное значение функции у = х7 – 3х4 + 4х3 – 2 при х = 1,002.
98. Найдите дифференциал функции 
.
99. Шар радиуса 15 см был нагрет, вследствие чего объем его увеличился на 22,5π см3. Найдите приближенно удлинение радиуса шара.
100. Вычислите приближенное значение приращения функции 
при изменении аргумента от 2 до 2,2.
101-150. Найдите интегралы:
101. а)  ;
б)  .
| 102. а)  ;
б)  .
|
103. а)  ;
б)  .
| 104. а)  ;
б)  .
|
105. а)  ;
б)  .
| 106. а)  ;
б)  .
|
107. а)  ;
б)  .
| 108. а)  ;
б)  .
|
109. а)  ;
б)  .
| 110. а)  ;
б)  .
|
111. а)  ;
б)  .
| 112. а)  ;
б)  .
|
113. а)  ;
б)  .
| 114. а)  ;
б)  .
|
115. а)  ;
б)  .
| 116. а)  ;
б)  .
|
117. а)  ;
б)  .
| 118. а)  ;
б)  .
|
119. а)  ;
б)  .
| 120. а)  ;
б)  .
|
121. а)  ;
б)  .
| 122. а)  ;
б)  .
|
123. а)  ;
б)  .
| 124. а)  ;
б)  .
|
125. а)  ;
б)  .
| |
126. 
| 127. 
|
128. 
| 129. 
|
130. 
| 131. 
|
132. 
| 133. 
|
134. 
| 135. 
|
136. 
| 137. 
|
138. 
| 139. 
|
140. 
|
141. 
|
142. 
| 143. 
|
144. 
| 145. 
|
146. 
|
147. 
|
148. 
| 149. 
|
150. 
|
151-161. Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры, ограниченной данными линиями:
151. у = 8х – х2 – 7 и осью Ох.
152. у = х3 – 1, у = 0, х = 0.
153. у = х2 – 3х – 4 и осью Ох.
154. у2 = 4х и х2 = 4у.
155. у = 5х – х2 + 6 и осью Ох.
156. у = х3, у = х2, х = -1, х = 0.
157. у = х2 – 6х + 8 и осью Ох.
158. у = х2 и у = х+2.
159. у = х2 – 4х – 5 и осью Ох.
160. у = 6х – 3х2 и осью Ох.
161. у = х2 + 2 и у = 2х + 2.
162-165. Сделайте чертеж и вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной данными линиями:
162. ху = 1, х = 2, х = 3, у = 0.
163. у = х3, у = 0, х = 0, х = 2.
164. у2 – 3х = 0 и х – 3 = 0.
165. 
, у = 0, х – 3 = 0, х = 0.
166-168. Сделайте чертеж и вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной данными линиями:
166. у = х2 + 1, у = 2, у = 5.
167. 
, у = 2, у = 0.
168. х2 – 2у = 0, у – 2 = 0.
169. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью v(t) = 39,2 – 9,8t (v – в м/с). Вычислите наибольшую высоту подъема тела.
170. Скорость прямолинейного движения тела задана уравнением v(t) = 9t2 – 20t (v – в м/с). Вычислите его путь, пройденный за четвертую секунду.
171. Вычислите работу, которую нужно совершить при растяжении пружины на 8 см, если сила 3 Н растягивает пружину на 1 см.
172. Сила 6 Н растягивает пружину на 8 см. Какую работу она производит?
173. При сжатии пружины на 4 см необходимо совершить работу 9,81 Дж. Какую работу надо произвести для сжатия пружины на 10 см?
174. Вычислите силу давления ртути, наполняющей стакан цилиндрической формы, на его боковую поверхность, если высота стакана Н = 8 см, радиус основания R = 3,5 см, плотность ртути 
= 1360 кг/м3.
175. Вычислите силу давления воды на погруженную вертикально в нее пластинку, имеющую форму треугольника с основанием 10 см и высотой 5 см, предполагая, что вершина этого треугольника лежит на свободной поверхности воды, а основание параллельно ей.
176-200. Решите дифференциальные уравнения и найдите частные решения (частные интегралы), удовлетворяющие данным условиям:
176. 
, у = 0 при х = 0.
177. 
, у = 1 при х = 1.
178. y dx + ctg x dy = 0, у = -1 при 
.
179. 
, у = 1 при х = π.
180. (1+х2)у3 dx – (у2 – 1)х3 dy = 0, у = 1 при х = 1.
181. tg x sin2y dx + cos2x ctgy dy = 0, 
при .
182. 
, при х = 0.
183. (ху2 + х)dx + (х2у – y) dy = 0, у = 1 при х = 0.
184. (ху2 + у2)dx + (х2 – x2y) dy = 0, у = 1 при х = 1.
185. 
, у = 0 при х = 0.
186. (1 + у2)dx = ху dy, у = 1 при х = 2.
187. (xy + x)dx – (x2y + y)dy = 0, у = 0 при 
.
188. (1 + x2)dy – 2xy dx = 0, у = 1 при х = 0.
189. 
, 
при 
.
190. 
, у = 1 при х = 0.
191. (1 + х2)dy – 2x(y + 3)dx = 0, у = -1 при х = 0.
192. 
, у = 1 при х = 0.
193. 
, у = 4 при х = 0.
194. 
, у = 0 при х = 0.
195. 
, у = 0 при х = 0.
196. 
, у = 1 при х = 1.
197. 
, у = 1 при 
.
198. x2dy – (2xy + 3y)dx = 0, у = е3 при х = -1.
199. (y + xy)dx + (x – xy)dy = 0, у = 1 при х = 1.
200. ex(1 + ey)dx + ey(1 + ex)dy = 0, у = 0 при х = 0.
201. Шеститомное собрание сочинений Н.В. Гоголя поместили на полку в случайном порядке. Какова вероятность того, что тома стоят в порядке возрастания номеров?
202. Из урны, содержащей 8 шаров, помеченных цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, вынимают наугад все шары один за другим. Найдите вероятность того, что номера извлеченных шаров будут идти в порядке возрастания.
203. Карточка «Спортлото» содержит 49 чисел. В тираже участвуют 6 чисел. Какова вероятность того, что верно будет угадано 6 чисел?
204. Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет нечетное число очков? что выпадет «шестерка»?
205. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «крыша». ребенок рассыпал буквы и собрал в произвольном порядке. Найдите вероятность того, что у него снова получится слово «крыша».
206. Карточка «Спортлото» содержит 36 чисел. В тираже участвуют 5 чисел. Какова вероятность того, что верно будет угадано 5 чисел?
207. Имеется 100 деталей, из которых возможны 4% бракованных. Какова вероятность того, что взятая наугад деталь – бракованная.
208. Восемь различных книг расставляются наугад на одной полке. Какова вероятность того, что три определенные книги окажутся поставленными рядом?
209. Карточка «Спортлото» содержит 49 чисел. В тираже участвуют 6 чисел. Какова вероятность того, что правильно будет угадано 5 чисел?
210. На карточках разрезной азбуки написано 32 буквы алфавита. Пять карточек вынимают наугад одну за другой и укладывают на стол в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово «хорда».
211. В урне 7 красных и 6 синих шаров. Из урны наугад вынимаются два шара. Найдите вероятность того, что они разного цвета.
212. Карточка «Спортлото» содержат 36 чисел. В тираже участвуют 5 чисел. Какова вероятность того, что верно будет угадано 4 числа?
213. Из группы, состоящей из 10 юношей и 8 девушек, выбирают по жребию 4 дежурных. Какова вероятность того, что в числе избранных окажутся двое юношей и две девушки?
214. Экзаменационные билеты пронумерованы от 1 до 35. Какова вероятность того, что наудачу взятый билет имеет номер, кратный пяти?
215. Карточка «Спортлото» содержит 49 чисел. В тираже участвуют 6 чисел. Какова вероятность того, что верно будет угадано 4 числа?
216. Из семи одинаковых карточек разрезной азбуки «а», «к», «н», «о», «с», «у», «ф» наудачу выбирают 5 карточек и складывают их в ряд в порядке извлечения. Какова вероятность получить при этом слово «конус»?
217. На прилавке книжного магазина лежит 10 различных книг, причем 5 книг стоят по 1 руб. каждая, 3 книги – по 3 руб. и 2 книги – по 4 руб. Найдите вероятность того, что взятые наугад две книги стоят 5 руб.
218. Карточка «Спортлото» содержат 36 чисел. В тираже участвуют 5 чисел. Какова вероятность того, что верно будет угадано 3 числа?
219. Из числа шаров, занумерованных всеми двузначными числами, наудачу берется один. Какова вероятность того, что номер взятого шара оканчивается нулем?
220. На шести одинаковых карточках написаны буквы «а», «з», «и», «м», «п», «р». Карточки перемешивают и раскладывают наудачу в ряд. Какова вероятность того, что получилось слово «призма»?
221. Карточка «Спортлото» содержит 45 чисел. В тираже участвуют 6 чисел. Какова вероятность того, что верно будет угадано 3 числа?
222. В партии из 20 лампочек 3 бракованных. Из партии выбираются наугад 5 лампочек. Найти вероятность того, что среди этих пяти лампочек окажется две бракованных?
223. Полная колода карт 36 листов делится наугад на две равные пачки по 18 листов. Найти вероятность того, что в каждой пачке будет по два короля.
224. В урне лежат 12 одинаковых шаров: 3 белых, 7 черных, остальные красные. Какова вероятность того, что наугад выбранный шар окажется не белым?
225. В лотерее из 50 билетов 8 выигрышных. Какова вероятность того, что среди пяти наугад выбранных билетов два будет выигрышными?
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 633; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!