Формулировки, виды и выражение условий однозначности и граничных условий при передаче тепла.

Методы исследования тепловых процессов. Виды переноса тепла. Основные понятия, используемые при описании процессов переноса тепла. Закон Фурье (формулировка и математическое выражение). Коэффициент теплопроводности (влияющие факторы и ориентировочные значения).

Теплообмен или теплопередача – это процесс переноса теплоты внутри тела или от одного тела к другому, обусловленный разностью температур. Интенсивность переноса теплоты зависит от свойств вещества, разности температур и подчиняется экспериментально установленным законам природы. Чтобы создавать эффективно работающие системы нагрева или охлаждения, разнообразные двигатели, энергоустановки, системы теплоизоляции, нужно знать принципы теплопередачи. В одних случаях теплообмен нежелателен (теплоизоляция плавильных печей, космических кораблей и т.п.), а в других он должен быть как можно больше (паровые котлы, теплообменники, кухонная посуда).

Существуют три основных вида теплообмена: теплопроводность, конвекция и лучистый теплообмен или тепловое излучение.
Теплопроводность.Если внутри тела имеется разность температур, то тепловая энергия переходит от более горячей его части к более холодной. Такой вид теплопередачи, обусловленный тепловыми движениями и столкновениями молекул, называется теплопроводностью; при достаточно высоких температурах в твердых телах его можно наблюдать визуально. Так, при нагревании стального стержня с одного конца в пламени газовой горелки тепловая энергия передается по стержню, и на некоторое расстояние от нагреваемого конца распространяется свечение (с удалением от места нагрева все менее интенсивное). Интенсивность теплопередачи за счет теплопроводности зависит от градиента температуры, т.е. отношения DТ/Dx разности температур на концах стержня к расстоянию между ними. Она зависит также от площади поперечного сечения стержня (в м²) и коэффициента теплопроводности материала [в соответствующих единицах Вт/(м ·К)].
Соотношение между этими величинами было выведено французским математиком Ж.Фурье и имеет следующий вид
или ,
где Q, q – тепловой поток и плотность теплового потока, в Вт и Вт/м², – коэффициент теплопроводности, Вт/(м·К), F– площадь поперечного сечения, м².
Это соотношение называется законом теплопроводности Фурье; знак «минус» в нем указывает на то, что теплота передается в направлении, обратном градиенту температуры.
Из закона Фурье следует, что тепловой поток можно понизить, уменьшив одну из величин – коэффициент теплопроводности, площадь или градиент температуры. Для здания в зимних условиях последние величины практически постоянны, а поэтому для поддержания в помещении нужной температуры остается уменьшать теплопроводность стен, т.е. улучшать их теплоизоляцию.
  Теплопроводность металлов обусловлена колебаниями кристаллической решетки и движением большого числа свободных электронов (называемых иногда электронным газом). Движение электронов ответственно и за электропроводность металлов, а потому неудивительно, что хорошие проводники тепла (например, серебро или медь) являются также хорошими проводниками электричества.
Тепловое и электрическое сопротивление многих веществ резко уменьшается при понижении температуры ниже температуры жидкого гелия (1,8 K). Это явление, называемое сверхпроводимостью, используется для повышения эффективности работы многих устройств – от приборов микроэлектроники до линий электропередачи и больших электромагнитов.

  Конвекция.При подводе тепла к жидкости или газу увеличивается интенсивность движения молекул, а вследствие этого повышается давление. Если жидкость или газ не ограничены в объеме, то они расширяются; локальная плотность жидкости (газа) становится меньше, и благодаря выталкивающим (архимедовым) силам нагретая часть среды движется вверх (именно поэтому теплый воздух в комнате поднимается от батарей к потолку). Данное явление называется конвекцией. Иными словами перенос теплоты из области с одной температурой в область с другой температурой, сопровождающийся переносом самой среды называется конвекцией. Конвекция в основном встречается только в жидкостях и газах.

Конвекцию необходимо учитывать при проектировании теплообменников, систем кондиционирования воздуха, высокоскоростных летательных аппаратов и многих других устройств. Во всех подобных системах одновременно с конвекцией имеет место теплопроводность, причем как между твердыми телами, так и в окружающей их среде. При повышенных температурах существенную роль может играть и лучистый теплообмен.
Лучистый теплообмен.Третий вид теплопередачи – лучистый теплообмен – отличается от теплопроводности и конвекции тем, что теплота в этом случае может передаваться через вакуум. Сходство же его с другими способами передачи тепла в том, что он тоже обусловлен разностью температур. Тепловое излучение – это один из видов электромагнитного излучения (происходит за счет распространения электромагнитных волн). Другие его виды – радиоволновое, ультрафиолетовое и гамма-излучения – возникают в отсутствие разности температур. Тепловое излучение может сопровождаться испусканием видимого света, но его энергия мала по сравнению с энергией излучения невидимой части спектра.

Дифференциальное уравнение теплопроводности для твёрдого тела (вывод). Схемы и формулы передачи тепла через плоскую однослойную и многослойную стенки (без внутреннего источника). Термическое сопротивление стенки.

Дифференциальное уравнение теплопроводности выводится на основе закона сохранения энергии. Выделим в движущемся потоке жидкости элементарный параллелепипед с гранями dx, dy и dz и, считая физические параметры λ, с_р и ρ постоянными, напишем для него уравнение теплового баланса. Если изменением давления пренебречь, то согласно первому закону термодинамики количество подведенной теплоты равно изменению энтальпии тела.

 

Рисунок

К выводу дифференциального уравнения

теплопроводности

 

Подсчитаем приток теплоты через грани элемента вследствие теплопроводности. Согласно закону Фурье количество теплоты, проходящее за время dτ в направлении оси х через грань ABCD. После сокращения на dx, dy, dz, dT и перенесения в правую часть С_рρ уравнение принимает вид
 (1)
Это и есть дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье-Кирхгофа. Оно устанавливает связь между временными и пространственными изменениями температуры в любой точке движущейся среды; здесь а - коэффициент температуропроворности и Δ²– оператор Лапласа.
 В применении к твердым телам уравнение (1) принимает следующий вид
 (2)
2.1 Однородная стенка
Рассмотрим однородную стенку толщиной δ (рис. 1), коэффициент теплопроводности λ, ко­торой постоянен. На наружных поверхностях стенки поддержи­ваются постоянные температуры t₁ и t₂. Температура изменяется только в направлении оси х. В этом случае температурное поле одномерно, изотермические поверхности плоские и располагаются перпендикулярно оси х.
На расстоянии х выделим внутри стенки слой толщиной dx, ограниченный двумя изотермическими поверхностями.

Рисунок 1–Теплопроводность через плоскую однородную стенку

 

На основа­нии закона Фурье [уравнение (1-1)] для этого случая можно написать
или , (1)
Плотность теплового потока q при стационарном тепловом ре­жиме постоянна в каждом сечении, поэтому
, (2)
Постоянная интегрирования С определяется из граничных условий, а именно при х = 0 t = t₁ = С, а при х = δ t = t₂. Подставляя эти значения в уравнение (2), имеем
, (3)
Из уравнения (3) определяется неизвестное значение плотности теплового потока q, а именно
, (4)
Следовательно, количество теплоты, переданное через единицу поверхности стенки в единицу времени, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности λ. и разности температур наружных поверхностей Δt и обратно пропорционально толщине стенки δ.
Уравнение (4) является расчетной формулой теплопроводности плоской стенки. Оно связывает между собой четыре величины: q, λ, δ и Δt. Зная из них любые три, можно найти четвертую
 и , (5)
Отношение λ/ δ называется тепловой проводимостью стенки, а обратная величина δ/λ - термическим сопротивлением. Последнее определяет падение температуры в стенке на единицу плотности теплового потока.
Если в уравнение (2) подставить найденные значения ^ С и плотности теплового потока q, то получим уравнение температурной кривой
, (6)
Последнее показывает, что при постоянном значении коэффициента теплопроводности температура однородной стенки. изменяется по линейному закону. В действительности же вследствие своей зависимости от температуры коэффициент теплопроводности является переменной величиной. Если это обстоятельство учесть, то получим иные, более сложные расчетные формулы.
Для подавляющего большинства материалов зависимость коэффициента теплопроводности от температуры имеет линейный характер вида λ = λ₀(1 + bt). В этом случае на основании закона Фурье для плоской стенки имеем
, (7)
Разделив переменные и произведя интегрирование, получим
, (8)
Подставляя в уравнение (8) граничные значения переменных, имеем при х=0 t=t₁
, (9)
и при x=σ t=t₂
, (10)
 (11)

 

Новая расчетная формула (6) несколько сложнее формулы (4). Там мы принимали коэффициент теплопроводности постоянным и равным некоторому среднему значению λ_m. Приравнивая друг другу правая часть этих формул, имеем
, (12)
Следовательно, если λ_mопределяется по среднеарифметическому из граничных значений температур стенок, то формулы (4) и (6) равнозначны.
С учетом зависимости коэффициента теплопроводности λ от температуры уравнение температурной кривой в стенке получается путем решения уравнения (6) относительно t и подстановки значения С, а именно

(13)
Следовательно, в этом случае температура стенки изменяется не линейно, а по кривой. При этом если коэффициент b положителен, выпуклость кривой направлена вверх, а если b отрицателен – вниз.
2.2 Многослойная стенка
Стенки, состоящие из нескольких разнородных слоев, называются многослойными. Именно такими являются, например, стены жилых домов, в которых на основном кирпичном слое с одной стороны имеется внутренняя штукатурка, с другой – внешняя облицовка. Обмуровка печей, котлов и дру­гих тепловых устройств также обычно со­стоит из нескольких слоев.
Пусть стенка состоит из трех разнородных, но плотно прилегающих друг к другу слоев (рис. 1-8). Толщина первого слоя δ₁ второго δ₂ и третьего δ₃ . Соответственно коэффициенты теплопроводности слоев λ₁, λ₂ и λ_3. Кроме того, известны температуры наружных поверхностей стенки t₁ и t₄. Тепловой контакт между поверхностями предполагается идеальным, температуру в местах контакта мы обозначим через t₂ и t₃.

Рисунок 2 – Теплопроводность через плоскую многослойную стенку

При стационарном режиме плотность теплового потока постоянна и для всех слоев одинакова. Поэтому на основании уравнения (4) можно написать
 (14)

 

Из этих уравнений легко определить температурные напоры в каждом слое
} (15)
Сумма температурных напоров в каждом слое составляет полный температурный напор. Складывая левые и правые части системы уравнений (15), получаем
 (16)
Из соотношения (16) определяем значение плотности теплового потока
(17)
По аналогии с изложенным можно сразу написать расчетную формулу для n-слойной стенки
 (18)
Так как каждое слагаемое знаменателя в формуле (17) представляет собой термическое сопротивление слоя, то из уравнения (18) следует, что общее термическое сопротивление многослойной стенки равно сумме частных термических сопротивлений.
Если значение плотности теплового потока из уравнения (17) подставить в уравнение (15), то получим значения неизвестных температур t₂ и t₃
,
, (19)
.
Внутри каждого слоя температура изменяется по прямой, но для многослойной стенки в целом она представляет собой ломаную линию (рис.2).
Значения неизвестных температур t₂ и t_з многослойной стенки можно определить также графически (рис. 3).

Рисунок 3 – График определения неизвестных температур t₂ и t₃ многослойной стенки

 

При построении графика по оси абсцисс в любом масштабе, но в порядке расположения слоев, откладываются значения их термических сопротивлений δ₁/λ₁, δ₂/λ₂ и δ₃/λ₃, восстанавливаются перпендикуляры. На крайних из них также в произвольном, но одинаковом масштабе, откладываются значения наружных температур t₁ и t₄. Полученные точки А и С соединяются прямой. Точки пересечения этой прямой со средними перпендикулярами дают значения искомых температур t₂ и t_з. При таком построении ΔАВС =ΔАDЕ.
Иногда ради сокращения выкладок многослойную стенку рассчитывают как однослойную (однородную) толщиной Δ. При этом в расчет вводится так называемый эквивалентный коэффициент теплопроводности λ_эк, который определяется из соотношения
 (20)

 

Отсюда имеем
 (21)
Для n-слойной стенки
 (22)
Таким образом, эквивалентный коэффициент теплопроводности λ_эк зависит только от значений термических сопротивлений и толщины отдельных слоев.
При выводе расчетной формулы для многослойной стенки мы предполагали, что слои плотно прилегают друг к другу и благодаря идеальному тепловому контакту соприкасающиеся поверхно­сти разных слоев имеют одну и ту же температуру. Однако если поверхности шероховаты, тесное соприкосновение невозможно и между слоями образуются воздушные зазоры. Так как теплопроводность воздуха мала [λ = 0,025 Вт/(м·°С)], то наличие даже очень тонких зазоров может сильно повлиять в сторону уменьшения эквивалентного коэффициента теплопроводности многослойной стенки. Аналогичное влияние оказывает и слой окисла металла. Поэтому при расчете и в особенности при измерении теплопровод­ности многослойной стенки следует обращать внимание на плотность контакта между слоями.

Формулировки, виды и выражение условий однозначности и граничных условий при передаче тепла.

Условия однозначности, необходимые для решения уравнения Фурье.

Дифференциальное уравнение теплопроводности имеет бесчисленное множество решений. Для выделения единственного решения этого уравнения, соответствующего единственному явлению теплопроводности, должны быть заданы следующие параметры:

1. геометрические размеры и форма тела, а также время τ для нестационарного процесса. Заметим, что время процесса может быть задано неявно по какому-либо дополнительному условию, например, нагрев или охлаждение тела до достижения теплового равновесия с окружающей средой;

2. физические свойства вещества (коэффициент теплопроводности λ, удельная объемная теплоемкостьс' (или удельная массовая теплоемкость с), плотность ρ, коэффициент температуропроводности a);

3. закон распределения внутренних источников теплоты qv (xi, τ).

3. краевые условия (КУ) задают начальное распределение температуры в заданной расчетной области (НУ) и условия теплообмена на границе этой области (ГУ).

Начальные условия (ну)

Перед началом расчета процесса нестационарной теплопроводности необходима информация о распределения температуры в объеме тела в некоторый момент времени, принимаемый за начало отсчета, или начальный момент времени (момент времени τ = 0). Т.о., должна быть задана функция

или ,

где – система координат.

В частном случае одномерного и равномерно распределенного в объеме тела начального температурного поля НУ имеют вид:

Т (х, 0) = Т0 = const. Заметим, что для задач стационарной теплопроводности задание начальных условий не имеет смысла.

Граничные условия (гу)

В расчетах теплообмена применяют четыре типа ГУ, которые называют родами. Граничные условия теплообмена необходимо задавать, как на внешней поверхности тела (внешние ГУ), так и, при расположении границы расчетной области внутри тела, на внутренней поверхности (внутренние ГУ). Граничные условия первого и второго родов могут быть как внешними, так и внутренними, граничные условия третьего рода – только внешние граничные условия, граничные условия четвертого рода – только внутренние граничные условия.

---

Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 846; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!