Generierung allgemeiner Trajektorien durch

Interpolationspolynome

69. Wenn die Trajektorie q(t) bzw. x(t), die Bahn q(s) bzw. x(s) oder das Geschwindigkeitsprofil s˙(t) in diskreten Punkten gegeben sind, kann das Problem der Trajektorien bzw. Bahnplanung auf die Approximation von Funktionen bei gegebenen Stützstellen zurückgeführt werden.

70. Dazu wird das Zeitintervall [0, T] durch eine eigentlich monoton wachsende Folge von diskreten Zeitpunkten  mit  in N Teilintervalle  zerlegt.

71. Bild 7.5 zeigt für den skalaren Fall  das Vorgehen.

72. Durch  werden die Approximationspolynome bezeichnet.

73. Bild 7.5: Approximation durch Polynome .

74. Je nach Anforderungen an die Stetigkeit von  müssen neben den Funktionswerten  noch die Ableitungen  bzw.  in den Stützstellen bekannt sein, dargestellt durch das folgende Schema:

				…
				…
				…
				…

75. Als Approximationspolynome werden Minimalpolynome verwendet, das sind solche, deren Polynomgrad sich aus der eindeutigen Berechenbarkeit der Polynomkoeffizienten ergibt.

1. Generierung -stetiger Trajektorien

76. Diese sind durch ihre einfache Stetigkeit gekennzeichnet und können durch Polynome ersten Grades approximiert werden.

77. Die Randbedingungen lauten

 .

78. Für den Ansatz

ergeben sich die Koeffizienten ,  durch Einsetzen der Randbedingungen als Lösung eines linearen Gleichungssystems

.

79. Das in Beispiel 7.2 behandelte trapezförmige Geschwindigkeitsprofil ist eine typische -stetige Trajektorie.

2. Generierung -stetiger Trajektorien (Stoßfreie Trajektorien)

80. Sie sind durch ihre Stetigkeit bis zur ersten Ableitung gekennzeichnet.

81. Die Randbedingungen lauten in diesem Fall

 

 

 .

82.  Das Minimalpolynom muß 3. Grades sein,

83. Die Koeffizienten  ergeben sich in analoger Weise aus dem Gleichungssystem

3. Generierung -stetiger Trajektorien (Ruckfreie Trajektorien)

84.  Randbedingungen:

85. Minimalpolynom:

86. Bestimmung der Polynomkoeffizienten aus dem Gleichungssystem:

Beispiel 7.3: Ruckfreie Beschleunigungsphase

87. Will man z.B. die Beschleunigungsphase von Bild 7.3b ruckfrei durchführen, lauten die Randbedingungen  :

.

88. Für die Polynomkoeffizienten erhält man aus dem oben angegebenen Gleichungssystem

89. Die ruckfreie Bahn kann folglich durch beschrieben werden

.

Beispiel 7.4: Verbindung von Geradenstücken durch Polynome 3. Grades (Bild 7.6)

90. Die Trajektorie sei durch N Geradenstücke gegeben.

91. Um die Unstetigkeiten der ersten Ableitungen zu den Zeitpunkten
zu vermeiden, werden häufig die durch lineare Interpolation entstehenden Ecken durch Polynome 2. oder 3. Grades ersetzt.

92. Die Generierung C1-stetiger Verläufe läßt sich mit einer kleinen Modifikation durch Gl. (7.8) ausführen.

93. Dazu müssen in Gl. (7.8) und ersetzt werden.

94. Bild 7.6: Gemischte Interpolation

7.1.4 Bahnplanung für redundante Systeme

95. Nach Abschnitt 6.1.6 besitzt ein redundantes MKS mehr Freiheitsgrade als für die Ausführung der Aufgabe notwendig ist (n > m).

96. Das inverse kinematische Problem liefert in diesem Fall mehrdeutige Lösungen, d.h. jeder Bahnpunkt kann mit unendlich vielen Konfigurationen erreicht warden.

97. Die Auswahl einer ”geeigneten“ Konfiguration kann z.B. über eine Optimierungstrategie erfolgen.

98. Im einfachsten Fall dient dazu ein Gütekriterium der Form

das die verallgemeinerten Geschwindigkeiten mit einer symmetrischen, positiv definiten (n, n)-Wichtungsmatrix quadratisch wichtet.

99. Die ”geeignete“ Konfiguration ist dadurch ausgezeichnet, daß sie eine Lösung des Problems

a) mit kleinstem quadratischen Geschwindigkeitsaufwand liefert und

b) die Nebenbedingung (6.41) erfüllt.

100. Die Lösung dieser Extremalaufgabe mit Nebenbedingung kann mit der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren erfolgen.

101. Dazu wird das um die Nebenbedingung in impliziter Form erweiterte Gütekriterium

betrachtet.

102. Der Vektor heißt Lagrangescher Multiplikator.

103. Die notwendigen Bedingungen für die Existenz eine Minimums ergeben

104. Aus diesen Beziehungen können berechnet und die inverse Kinematik gelöst werden.

105. Aus der ersten Gleichung folgt

Einsetzen in die zweite Gleichung und Auflösen ergibt für den Lagrangeschen Multiplikator

106. Diese Auflösung ist möglich, da den vollen Rang besitzt und folglich invertierbar ist.

107. Durch Elimination von findet man schließlich das Ergebnis  mit

mit der die inverse Kinematik redundanter MKS behandelt werden kann.

108. Die hinreichende Bedingung für die Existenz eines Minimums

 ist wegen  stets erfüllt.

109. Der Sonderfall  führt auf

mit  als der rechten Pseudoinversen von J.

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Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 148; Мы поможем в написании вашей работы!

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