Тема: «Вычисление определенных интегралов»

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Цель работы: изучение методов вычисления определенных интегралов, оценка точности этих методов. Получение практических навыков программной реализации методов вычисления определенных интегралов.

Технические средства: IBM PS AT.

Программное средство: Visual Studio или Delphi

Теоретические сведения

Постановка задачи. Пусть некоторый конечный интервал [а, b] на оси Ох разбит на n подынтервалов [х_i, х_i+1], которые в дальнейшем будем называть элементарными отрезками. Ясно, что без ограничения общности можно положить х₀= а; х_n= b и х₀< <х₁< ... <х_n. Через h_iобозначим длину элементарного отрезка (х_i₊₁- х_i). Если заданный отрезок [а, b] разбит равномерно, то тогда h_i будет постоянна для любой [а, b]. Пусть теперь на[а, b]определена некоторая функция f(х). Предположим, что необходимо найти приближение к определенному интегралу, которое обозначим . Очевидно также, что если f(х) непрерывна [а, b], то тогда можно представить как , где - интеграл функции f(х) на элементарном отрезке [х_i₊₁, х_i], т.е.:

Bсякая простая формула, аппроксимирующая отдельный интеграл , назывaется квадратурной. Составная квадратурная формула - это формула, дающая приближение интеграла в виде суммы приближений интегралами по данной квадратурной формуле.

Двумя простейшими квадратурными формулами являются формулы прямоугольников и трапеций, которые в ряде случаев оказываются наиболее эффективными.

Известны три разновидности формул прямоугольников: это формулы левых, правых и средних прямоугольников. Все они основаны на аппроксимации каждого интеграла площадью прямоугольника, одной из сторон которого является h_i , а второй - либо значение функции на левом конце отрезка (рис.2, а), либо значение функции на правом конце отрезка (рис. 2, б), либо значение функции в средней точке отрезка (рис. 2, в).

Квадратурные формулы, аппроксимирующие , будут иметь вид:

левых прямоугольников: = h_i f (х_i);

правых прямоугольников: = h_i f (х_i+₁);

средних прямоугольников: = h_i f (х_i_+1/2).

С учетом представления на элементарном отрезке составные квадpатурные формулы прямоугольников могут быть записаны так:

левых прямоугольников

; (3.1)

правых прямоугольников

; (3.2)

средних прямоугольников

. (3.3)

В формуле трапеций используются значения функции в концевых точках элементарных отрезков. В этом случае аппроксимируется площадью трапеции с основаниями f(х_i) и f(х_i₊₁)и высотой Dx (рис. 3).

Тогда площадь фигуры моСт быть определена из формулы площади прямоугольной трапеции

S_i = (f_i + f_i+₁) h_i/2.

Если теперь просуммируем последнюю формулу по всем элементарным отрезкам, то получим с учетом выполненных элементарных преобразований следующее выражение:

Заметим, что при бесконечном уменьшении длин элементарных отрезков формулы обоих типов (прямоугольников и трапеций) сходятся к точному значению интеграла . Однако не ясно, как быстро они сходятся ? Попытаемся выяснить данный вопрос, воспользовавшись разложением функции в ряд Тейлора относительно центра элементарного отрезка [х_i, х_i₊₁]

f(x) = f(y_i) + (x – y_i) f ’(y_i) + (x – y_i)² f ’’(y_i)/2 +

+ (x – y_i)³ f’’’(y_i)/6 + (x-y_i)⁴ f ^(IV)(y_i)/24 + …

затем, проинтегрировав полученный ряд по каждому из отрезков в предположении, что оставшиеся члены ряда намного меньше выписанных, с учетом значений коэффициентов ряда Тейлора на элементарном отрезке

получим

Член показывает ошибку формулы прямоугольников без учета членов более высокого порядС. Если теперь подставим в формулу трапеций значения функции в точках х = х_i и х = х_i₊₁, то получим

Можно видеть, что ошибки формул средних прямоугольников и трапеций одного порядС, т.е. дают почти одинаковую точность.

Формальные параметры процедуры вычисления интеграла методами прямоугольников и трапеций. Входные: Х0, Х1 (тип real) – границы отрезС, на котором вычисляется определенный интеграл; N (тип integer) – количество узлов (элементарных отрезков), на которые разбивается заданный интервал [a, b]. Выходные: FХ (тип real) – массив значений функции в заданных узлах (х_i); fint (тип real) – вычисленные значения интеграла; err (тип real) – погрешность вычисленного значения.

Метод Симпсона часто называют в литературе методом парабол. Очевидно, что точность вычислений приближенного интеграла возрастет по сравнению с точностью вычислений, выполненных по формулами трапеций и прямоугольников, Сли подынтегральную функцию f(х) заменить на отрезке [х_i,х_i₊₁] квадратичной параболой, которая в узлах разбиения х_i принимает значения f(х_i) и при этом х₀= =а; f(х₀) = f(а) = y₀; х_n= b; f(х_n) = f(b) = y_n.

Разобьем равномерно отрезок [а, b] на N элементарных отрезков [х_i,х_i₊₁] и на каждом из них заменим подынтегральную функцию f(х) интерполяционным многочленом Ньютона (или Лагранжа, в принципе, без разницы!) второй степени. Тогда для каждого элементарного отрезка [х_i,х_i₊₁] имеем следующее:

Просуммируем полученное выражение по всем элементарным отрезкам, и если подставим h = =(b - а) / n, то окончательно получим

(3.4)

Данное выражение называется формулой Симсона. Онo относится к формулам повышенной точности и является точной для многочленов второй и третьей степени . Погрешность формулы Симсона оценивается по формуле Тейлора и имеет вид

Интегрирование квадратурными формулами Ньютона - Котеса и методом "три восьмых".

Пусть некоторая функция f(х), как и раньше, задана в виде таблицы значений y_i = f(х_i)в узлах интерполяции х_i = =х₀+ ih на отрезке [а, b]. Требуется найти значения интеграла на указанном отрезке.

По заданным значениям подынтегральной функции y_i = =f(х_i) построим интерполяционный полином Лагранжа

который для равноотстоящих узлов примет вид

где q = (х - х₀) / h.

Теперь заменим подынтегральную функцию f(х) построенным полиномом, считая, что узлы интерполяции расположены равномерно:

Проведя необходимые элементарные преобразования, выполнив замену переменных dq = dx/n и сменив в соответствии с подстановкой пределы интегрирования, получим

Здесь h - шаг, который для равноотстоящих узлов интерполяции определяется как h = (b - а)/n. Подставив значения h в последнюю формулу, окончательно получим

где

;

Н_i - коэффициенты Ньютона - Котеса. Они не зависят от значений функции f(х) и являются функциями только количества узлов, на которые разбит отрезок [а, b]. Поэтому Н_i обычно вычисляют заранее:

N = 1: Н₀ = Н₁ = ¹/₂;

N = 2: Н₀ = Н₂ = ¹/₆; Н₁ = ²/₃;

N = 3: H₀ = H₃ = ¹/₈; H₁ = H₂ = ³/₈;