Уравнение кривых в полярных координатах
Окружность
Круг, заданный уравнением 
.
Общее уравнение окружности с центром в ( 
) и радиусом 
имеет вид:
Это уравнение может быть упрощено для частных случаев, например
является уравнением, определяющим окружность с центром в полюсе и радиусом .[15]
Прямая
Радиальные прямые (те, которые проходят через полюс) определяются уравнением
где 
— угол, на который прямая отклоняется от полярной оси, то есть, 
где 
— наклон прямой в прямоугольной системе координат. Нерадиальная прямая, перпендикулярно пересекает радиальную прямую 
в точке 
определяется уравнением
Конические сечения
Эллипс.
Коническое сечение, один из полюсов которого находится в полюсе, а другой где-то на полярной оси (так, что малая полуось лежит вдоль полярной оси) задаётся уравнением:
где 
— эксцентриситет, а 
— фокальный параметр. Если 
, это уравнение определяет гиперболу; если 
, то параболу; если 
, то эллипс. Отдельным случаем является 
, определяющее окружность с радиусом .
17. Прямая на плоскости. Различные виды уравнения прямой. Расстояние от точки до прямой.
Рассмотрим прямую проходящую через точки М1М2, пусть М произвольная точка лежащая на этой прямой тогда векторы ММ2 и М1М являются коллинеарными. Вектор ММ2 = (X2 – X; Y2 – Y), M1M = (X - X1; Y – Y1). Из условия коллинеарности векторов, следует, что 
1). 1) -уравнение прямой, проходящей через две заданные точки пусть X2 – X1 = K, Y2 – Y1 = L, тогда вектор a = (K; L) параллельна данной прямой направляющий вектор 1)может быть записано в виде: 
2). 2) -уравнением прямой проходящей через данную точку М1 в заданном направлении 2)каноническим уравнением прямой. Если три точки М1, М2 и М лежат на одной прямой, то площадь треугольника равна нулю. 
3). 3)– уравнение прямой в виде определителя приравняем отношение равенства 1)к некоторому числу T. X - X1 = (X2 – X) T, X –X1 = KT; Y – Y1 = (Y2 –Y1) T, Y – Y1 = LT. (X = X1 + KT , Y = Y1 + LT 4)). 
4) –называется параметрическим уравнением. Пусть на плоскости заданы две точки A и B, лежащие на координатных осях A(a; 0), B(b; 0). Найдем уравнение прямой проходящей через точки A и B. 
; 
; 
- 5) . 5) –называется уравнением прямой на отрезке.
|
|
|
Нормальное уравнение прямой.Пусть прямаяпроходит через точку М(X; Y) перпендикулярно отрезку OP. Длина отрезка 
, 
, 
cos 
, p = r(cosacos + sinasinb), p = (r cosb)cosa + (r sinb)sina. X cosa + Y sinb = p – нормальное уравнение прямой.
Расстояние от точки до прямой.
Пусть дана какая – нибудь прямая и произвольная точка М*; обозначим через d расстояние точки М* от данной прямой. Отклонением d точки М* от прямой называется число +d, если данная точка и начало координат лежат по разные стороны от данной прямой, и –d, если данная точка и начало координат расположены по одну сторону от данной прямой. Если даны координаты X*, Y* точки М* и нормальное уравнение прямой X cosa + Y sina - p = 0, то отклонение d точки М* от этой прямой может быть вычислено по формуле d = X* cosa + Y* sina - p. Таким образом, чтобы найти отклонение какой – нибудь точки М* от данной прямой, нужно в левую часть нормального уравнения этой прямой вместо текущих координат подставить координаты точки М*. Полученное число будет равно искомому отклонению. Чтобы найти расстояние d от точки до прямой, достаточно вычислить отклонение и взять его модуль: d = 
. Если дано общее уравнение прямой Ax + By + C = 0, то, чтобы привести его к нормальному виду, нужно все члены этого уравнения умножить на нормирующий множитель m, определяемый формулой 
. Знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.
18. Взаимное расположение прямых на плоскости.
Пусть на плоскости заданы две прямые:A1x + B1y +C1 = 0 A2x + B2y + C2 = 0 – 1). Возможны следующие случаи взаимного расположения этих прямых: 1) Прямые пересекаются в одной единственной точке, это означает, что система 1) имеет единственное решение. 
¹ 0. 2) Прямые параллельны и не совпадают, это означает, что система 1)не имеет решений. В соответствии с теоремой Капели – это возможно тогда и только тогда, когда rang 
не совпадает с rang 
. 
3) прямые совпадают, это означает, что система 1)имеет множество решений. Это возможно тогда, когда rang совпадает с rang . Это возможно в том случае, когда коэффициенты пропорциональны: 
.
Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 494; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!