Расчетная формула метода Ньютона для нелинейного уравнения.
Пусть на отрезке имеется только один корень нелинейного уравнения . Расчетная формула метода Ньютона имеет вид:
, ,
где , − заданное начальное приближение.
Идея метода Эйлера построения приближенного решения задачи Коши для обыкновенного диф. уравнения.
Рассматривается дифференциальное уравнение вида с начальным условием . Требуется найти решение на отрезке , где . На отрезке вводится разностная сетка , . Точки называются узлами разностной сетки, а функции, заданные лишь в узлах сетки – сеточными. Приближённое решение задачи Коши будем искать численно в виде сеточной функции .
Интегральная кривая согласно условию должна проходить через точку и иметь в этой точке касательную. Тангенс угла наклона касательной к оси равен значению производной от решения в точке и равен значению правой части дифференциального уравнения в точке : . В случае небольшого шага h разностной сетки графики интегральной кривой и касательной не успевают сильно разойтись друг от друга, и можно в качестве значения решения в узле принять значение касательной вместо значения точного неизвестного решения. Считая теперь точку начальной, повторяем предыдущие действия. Формула метода Эйлера имеет вид:
.
Идея метода сеток.
Рассмотрим идею метода сеток для конкретного дифференциального уравнения в частных производных, а именно, уравнения Лапласа: . Ясно, что этому уравнению удовлетворяют многие функции . Конкретный вид функции зависит от граничных условий, т.е. от значений функции на границах области изменения переменных , которые задаются пользователем. Идея состоит в том, что вместо отыскания аналитической формулы во всей области , определить приближенные значения функции в некоторых точках внутри области , как правило, образующих сетку. В двумерных областях проще использовать прямоугольную сетку, разбивая область вдоль осей и на части с одинаковым шагом . Приближенные значения производных в каждом узле выбранной сетки записывают, используя информацию о значениях искомой функции в соседних узлах. Для частных производных разностные формулы принимают вид , , подстановка которых в уравнение Лапласа дает уравнение
|
|
. (14.1)
Рассмотрим конкретный пример сетки, эскиз которой приведен на рисунке. Здесь , , , , , , , , , − заданные граничные условия, , , , , , − значения функции в узлах сетки, подлежащие определению. Применяя формулу (14.1) для каждой внутренней точки области, получаем СЛАУ из 6 уравнений относительно 6 неизвестных , которую можно решить любым известным методом (прямым или итерационным).
|
|
Если пользователю необходима непрерывная функция, то ее можно получить, например, используя двумерную сплайн-интерполяцию на основе найденных дискретных значений .
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 250; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!