Идея приближенного вычисления определенного интеграла методами трапеций и прямоугольников.
Пусть непрерывная функция задана на отрезке . Требуется вычислить интеграл . Пользуясь геометрическим смыслом определённого интеграла, можно заменить задачу отыскания первообразной на подсчёт площади под кривой . Для этого следует разбить промежуток на n одинаковых отрезков длиной h: ; затем подсчитать приближённо площадь под кривой на каждом частичном отрезке тем или иным способом, а окончательный результат получить суммированием площадей.
Формула трапеций: , где .
Формула центральных прямоугольников: , где .
Формула левых прямоугольников: , где .
Формула правых прямоугольников: , где .
Формулы левых и правых прямоугольников имеют первый порядок точности по , а формулы трапеций и центральных прямоугольников – второй. Ниже на рисунках представлена графическая иллюстрация формул.
Определение нормы матрицы.
Нормой матрицыA (обозначается ) с вещественными элементами называется неотрицательное число, вычисляемое с помощью элементов матрицы и обладающее следующими свойствами:
1) , тогда и только тогда, когда A - нулевая матрица;
2) ;
3) ;
4) .
9. Определение 1-, 2- и ∞-норм векторов и 1-, евклидовой (Фробениуса) и ∞-норм матриц.
Пусть − вектор в пространстве , тогда
1-норма вектора ,
2-норма вектора ,
-норма вектора .
Пусть − вещественная матрица порядков , тогда
1-норма матрицы ,
наибольшее значение среди сумм абсолютных значений элементов в каждом столбце;
|
|
евклидова норма (Фробениуса) матрицы ,
все элементы матрицы возводим в квадрат, суммируем и извлекаем корень;
-норма матрицы ,
наибольшее значение среди сумм абсолютных значений элементов в каждой строке.
Определение числа обусловленности матрицы.
Пусть − квадратная вещественная матрица, тогда число обусловленности матрицы:
.
Матрица плохо обусловлена, если .Для вырожденной матрицы полагают .
Расчетная формула для итерационного процесса и условие сходимости.
Метод простых итераций применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) из n уравнений c n неизвестными, если основная матрица системы не вырождена, т.е. :
. (11.1)
СЛАУ в матричной форме необходимо преобразовать к виду . (11.2)
Один из способов преобразования (метод Якоби) состоит в том, что из первого уравнения системы (11.1) выражаем , из второго и т.д. Далее выбираем начальное приближение и подставляем его в правую часть уравнения (11.2) , тем самым находим первое приближение ; подставляем первое приближение в правую часть уравнения (11.2) и находим второе приближение и т.д.
|
|
Расчетная формула дляk-ой итерации имеет вид
.
Процесс можно прекратить, когда значения неизвестных в последней и предпоследней итерации совпадают до требуемой точности (например, до трёх знаков после запятой).
Достаточное условие сходимости: метод простых итераций сходится к единственному решению СЛАУ при любом начальном приближении , если какая-либо норма матрицы B системы (11.2) меньше единицы: .
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 244; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!