Лабораторнаяработа № 2. Корреляционный анализ
Цель работы. Овладение методами исследования корреляционной зависимости между несколькими количественными случайными величинами по выборочным данным в MSExcel 2010.
Краткие сведения.Корреляционной зависимостью двух случайных величин Y и X называется функциональная зависимость условного математического ожидания 
(или 
) одной из них от значения 
(или 
) другой величины. Корреляционная зависимость может быть представлена в виде уравнения регрессииY по X: 
или уравнения регрессииX по Y: 
. Если функция 
линейная, то корреляционная зависимость называется линейной, если нелинейная, то корреляционная зависимость называется нелинейной.
Основная задача корреляционного анализа – выявление наличия, вида и тесноты корреляционной зависимости между случайными величинами путем точечного и интервального оценивания различных (парных, множественных, частных) коэффициентов корреляции по выборке 
…, 
из генеральной совокупности, распределенной по многомерному нормальному закону.
Парная корреляция. Для оценки по выборке наличия и тесноты корреляционной связи между двумя случайными величинами Y и X, имеющими совместное нормальное распределение, используются выборочный коэффициент корреляции и эмпирическое корреляционное отношение.
Выборочный коэффициент корреляции 
используется для оценки наличия и тесноты парной линейной корреляционной зависимости
где 
, 
генеральный (теоретический) коэффициент корреляции, 
и 
среднеквадратические отклонения величин Y и Х. Выборочный коэффициент корреляции является точечной оценкой генерального коэффициента корреляции 
и вычисляется по формуле
где 
и 
– выборочные общие средние X и Y, 
– выборочное общее среднее произведения XY, 
и 
– выборочные среднеквадратические отклонения величин X и Y. Выборочный коэффициент корреляции показывает, на сколько величин изменится в среднем зависимая величина Y при увеличении аргумента X на одно и является показателем тесноты парной линейной корреляционной зависимости.
Свойства выборочного коэффициента корреляции:
· 
, чем больше 
, тем теснее линейная корреляционная зависимость Y и X, т.е. меньше разброс выборочных значений 
относительно оцененной по выборке линии регрессии
,
которая описывает зависимость условной (групповой) средней 
величины Yот значений xвеличиныX;
· 
;
· если все выборочные значения умножить на одно и то же число, то величина коэффициента корреляции не изменяется;
· при 
корреляционная зависимость представляет линейную функциональную зависимость между Y и X, т.е. все выборочные значения лежат на оцененной линии регрессии ;
· при 
линейная корреляционная зависимость между Y и X отсутствует, их групповые средние и 
совпадают с их общими средними и , а регрессия Y по X принимает вид 
. Равенство говорит лишь об отсутствии линейной корреляционной зависимости между величинами Y и X, но не об отсутствии корреляции или стохастической зависимости между Y и X.
Проверка значимости коэффициента корреляции осуществляется путем проверки гипотезы 
, т.е. предположения об отсутствии линейной корреляционной зависимости между величинами Y и X. При справедливости этой гипотезы статистика
имеет распределение Стьюдента (t-распределение) с числом степеней свободы n-2, где n – объем выборки. Гипотеза отвергается при уровне значимости 
(т.е. выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля), если вычисленное по выборке объема 
значение 
удовлетворяет неравенству
,
где 
– квантиль уровня 
распределения Стьюдента с числом степеней свободы 
.
Доверительный интервал надежности 
для генерального коэффициента корреляции при значимом выборочном коэффициенте корреляции 
строится с помощью z-преобразования Фишера
.
Распределение статистики 
уже при малых объемах выборки близко к нормальному, что позволяет построить доверительный интервал для ее математического ожидания и от него перейти к доверительному интервалу для генерального коэффициента корреляции , который имеет вид
,
где 
– гиперболический тангенс , а 
определяется по функции Лапласа из условия 
.
Для определения наличия и тесноты любой (линейной или нелинейной) корреляционной связи используется эмпирическое корреляционноеотношениеY к X
,
которое тем больше, чем большее влияние на вариацию Y оказывает изменчивость X по сравнению с неучтенными факторами. Здесь 
– общая выборочная дисперсия величины Y, 
– межгрупповая дисперсия Y. Свойства эмпирического корреляционного отношения:
· 
;
· 
;
· при 
корреляционная связь между Y и Xотсутствует;
· при 
между Y и X существует функциональная зависимость;
· при 
между Y и X существует линейная корреляционная зависимость.
Величина 
называется эмпирическим коэффициентом детерминации, она показывает, какая часть общей вариации Y обусловлена вариацией X.
Многомерный корреляционный анализ исследует корреляционную зависимость совокупности случайных величин 
имеющих совместное нормальное распределение. Корреляционная матрица 
, составленная из парных генеральных коэффициентов корреляции 
величин 
и 
,
,
характеризует линейную корреляционную зависимость между парами величин и этой совокупности. Основная задача многомерного корреляционного анализа состоит в оценке корреляционной матрицы по выборочным данным. Такой оценкой является матрица выборочных коэффициентов корреляции
,
в которой 
– выборочные коэффициенты корреляции между величинами и . Матрицы и 
симметричные, поэтому при вычислении матрицы приводятся только элементы, расположенные на главной диагонали и под ней.
Теснота линейной корреляционной связи одной из величин с совокупностью остальных 
величин 
оценивается выборочным коэффициентом множественной корреляции
,
где 
– определитель матрицы , 
– алгебраическое дополнение элемента 
матрицы . В частности, для трех величин 
выборочный коэффициент множественной корреляции 
вычисляется по формуле
= 
.
Выборочный коэффициент множественной корреляции принимает значения от 0 до 1. Чем ближе значение 
к единице тем теснее линейная корреляционная связь с остальными величинами . Величина 
называется выборочным множественным коэффициентом детерминации, которая показывает долю вариации переменной объясняемую вариацией остальных переменных. Множественный коэффициент корреляции значим при уровне значимости , если вычисленное значение F-статистики
,
где 
значение 
-критерия на уровне значимости при числе степеней свободы 
и 
.
Частные коэффициенты корреляции. Если величины из совокупности коррелируют друг с другом, то на величинах парных коэффициентов корреляции переменных и сказывается влияние и других переменных совокупности, что приводит к искажению значений коэффициентов корреляции . Для оценки линейной корреляционной зависимости между величинами и , очищенной от влияния других величин совокупности, используется выборочный частный коэффициент корреляции 
.Он определяется соотношением
,
где 
, , 
алгебраические дополнения соответственно элементов , , 
матрицы выборочных коэффициентов корреляции . Например, для совокупности из трех случайных величин выборочные частные коэффициенты корреляции 
находятся по формуле
.
Частный коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1. Значимость частного коэффициента корреляции при заданном уровне α определяется также, как и значимость коэффициента корреляции с помощью t-статистики: если
,
то частный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля. Матрица частных коэффициентов корреляции является также симметричной, элементы ее главной диагонали равны единице.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 614; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!